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正規拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:13 UTC 版)

抽象代数学において、体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。

同値な性質、および例

L/K の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。K^a を K の L を含む代数的閉包とする。

K 上恒等写像であるような L の K^a へのすべての埋め込みは σ(L) = L を満たす。言い換えると、σ は L の K-同型である。
L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。（多項式は L で 分解する (split) と言う。）

L が K の有限次分離拡大（例えば、これは K が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる）であれば、次の性質もまた同値である。

根が K の元とともに L を生成するような既約多項式が存在する。（L はその多項式の分解体であると言う。）

例えば、 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ は $\mathbb {Q}$ の正規拡大である。なぜならば、x² − 2 の分解体だからである。一方、 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ は $\mathbb {Q}$ の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 x³ − 2 はその中に1つの根（すなわち ${\sqrt[{3}]{2}}$ ）をもつが、すべてではない（2 の虚3乗根をもたない）からである。

$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ は $\mathbb {Q}$ の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。代数的数体 $\mathbb {A}$ は $\mathbb {Q}$ の代数的閉包であって $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ を含む。一方、

\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}

であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像

{\begin{array}{rccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{array}}

は $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ の $\mathbb {A}$ への埋め込みであって、 $\mathbb {Q}$ への制限は恒等写像である。しかしながら、σ は $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ の同型写像ではない。

任意の素数 p に対して、拡大 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ は次数 p(p − 1) の正規拡大である。これは x^p − 2 の分解体である。ここで $\zeta _{p}$ は任意の 1 の原始 p 乗根を表す。体 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ は $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ の正規閉包（下記参照）である。

他の性質

L を体 K の拡大とすると、

L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。

正規閉包

K が体で L が K の代数拡大であれば、L の代数拡大 M が存在して M は K の正規拡大となる。しかも、同型を除いて、極小な、つまり、L を含み K の正規拡大であるような M の唯一の部分体は M 自身であるような、そのような拡大は唯一である。この拡大は K の拡大 L の正規閉包 (normal closure) と呼ばれる。