反駁による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/21 06:25 UTC 版)
反駁（はんばく、英: refutation）とは、節の集合からの導出により空節 □ を導くことである。反駁については以下の定理が成り立つ。 節の集合 S が充足不能である必要十分条件は、節の集合 S からの導出により空節 □ が導けることである。 これはエルブランの定理を導出に応用したものになっている。 論理式 P が恒真であれば ¬ P {\displaystyle \lnot P} は充足不能（恒偽）であるため、節の集合に ¬ P {\displaystyle \lnot P} を追加し導出を繰り返すことで空節 □ になれば、論理式 P が恒真であることが証明できる。 反駁により P {\displaystyle P} が P 1 , … , P n {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}} の論理的帰結か調べるアルゴリズムは以下のように表現できる。 P 1 , … , P n {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}} をスコーレム連言標準形 C 1 , … , C n {\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}} に変換する。 ¬ P {\displaystyle \lnot P} をスコーレム連言標準形 C {\displaystyle C} に変換する。 もし C , C 1 , … , C n {\displaystyle C,C_{1},\dots ,C_{n}} の反駁が存在すれば、 P {\displaystyle P} は P 1 , … , P n {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}} の論理的帰結である。 あるいは、別の表現をすれば、 C , C 1 , … , C n {\displaystyle C,C_{1},\dots ,C_{n}} が充足不能 ¬ P , P 1 , … , P n {\displaystyle \lnot P,P_{1},\dots ,P_{n}} が充足不能 P 1 , … , P n {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}} の解釈が T {\displaystyle {\mathit {T}}} ならば ¬ P {\displaystyle \lnot P} の解釈は F {\displaystyle {\mathit {F}}} P 1 , … , P n {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}} の解釈が T {\displaystyle {\mathit {T}}} ならば P {\displaystyle P} の解釈は T {\displaystyle {\mathit {T}}}
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