上付き分岐群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 03:25 UTC 版)
u ≥ − 1 {\displaystyle u\geq -1} である実数 u {\displaystyle u} に対して、 G u {\displaystyle G_{u}} を i ≥ u {\displaystyle i\geq u} である最小の整数 i の G i {\displaystyle G_{i}} として定義する。 s ∈ G u ⇔ i G ( s ) ≥ u + 1 {\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1} となるように定義する、と言ってもいい。関数 ϕ {\displaystyle \phi } を ϕ ( u ) = ∫ 0 u d t ( G 0 : G t ) {\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}} で定義する。ここで、 t = − 1 {\displaystyle t=-1} に対しては ( G 0 : G t ) {\displaystyle (G_{0}:G_{t})} は ( G − 1 : G 0 ) − 1 {\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}} とし、 − 1 < t ≤ 0 {\displaystyle -1<t\leq 0} に対しては 1 {\displaystyle 1} とする。定義により − 1 ≤ u ≤ 0 {\displaystyle -1\leq u\leq 0} に対して ϕ ( u ) = u {\displaystyle \phi (u)=u} が成り立つ。 ϕ {\displaystyle \phi } が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 ψ {\displaystyle \psi } であって [ − 1 , ∞ ) {\displaystyle [-1,\infty )} 上定義されたものが存在する。 G v = G ψ ( v ) {\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}} と定義する。 G v {\displaystyle G^{v}} を第 v 上付き分岐群（v-th ramification group in upper numbering）という。言い換えれば G ϕ ( u ) = G u {\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}} である。 G − 1 = G , G 0 = G 0 {\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}} が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており、 H {\displaystyle H} が G {\displaystyle G} の正規部分群なら、全ての v {\displaystyle v} に対し ( G / H ) v = G v H / H {\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H} が成り立つ。 （一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。）
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