ピックオーバーの超階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 02:36 UTC 版)
クリフォード・ピックオーバー（英語版）は1995年に著書 Keys to Infinity において、次の超階乗を定義するために新しい表記 n$ を用いた。 n $ = n ! n ! ⋅ ⋅ ⋅ n ! ⏟ n ! 個 の n ! {\displaystyle n\$=\underbrace {{n!}^{{n!}^{\,\textstyle \cdot ^{\,\textstyle \cdot ^{\,\textstyle \cdot ^{\,n!}}}}}} _{n!\,{\text{個 の}}\ \,n!}} ガンマ関数、ハイパー演算子、テトレーション、クヌースの矢印表記、コンウェイのチェーン表記を用いた場合は次のようになる。 n ! [ 4 ] n ! {\displaystyle n![4]n!} n ! [ 5 ] 2 {\displaystyle n![5]2} n ! n ! {\displaystyle {{}^{n!}n!}} n ! ↑↑ n ! {\displaystyle n!\uparrow \uparrow n!} n ! ↑↑↑ 2 {\displaystyle n!\uparrow \uparrow \uparrow 2} Γ ( n + 1 ) ↑↑↑ 2 {\displaystyle \Gamma (n+1)\uparrow \uparrow \uparrow 2} n ! → n ! → 2 {\displaystyle n!\rightarrow n!\rightarrow 2} n ! → 2 → 3 {\displaystyle n!\rightarrow 2\rightarrow 3} Γ ( n + 1 ) → 2 → 3 {\displaystyle \Gamma (n+1)\rightarrow 2\rightarrow 3} 最初のほうのいくつかを見れば： 0 $ = 0 ! 0 ! = 1 1 = 1 1 $ = 1 ! 1 ! = 1 1 = 1 2 $ = 2 ! 2 ! = 2 2 = 2 2 3 $ = 3 ! 3 ! = 6 6 = 6 6 6 6 6 6 4 $ = 4 ! 4 ! = 24 24 = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 {\displaystyle {\begin{aligned}0\$&={}^{0!}0!={}^{1}1=1\\1\$&={}^{1!}1!={}^{1}1=1\\2\$&={}^{2!}2!={}^{2}2=2^{2}\\3\$&={}^{3!}3!={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}\\4\$&={}^{4!}4!={}^{24}24=24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}} このように定義通りの冪記法では表記上も長大な長さの冪指数の塔が現れることになるが、以下これらの値が n の増大に従って急速に巨大数となっていくことを見よう。
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