q-積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/10 23:50 UTC 版)
函数 F(x) が f(x) の q-原始函数であるとは、DqF(x) = f(x) を満たすときに言い、 ∫ f ( x ) d q x {\textstyle \int f(x)\,d_{q}x} で表す。f の q-不定積分はジャクソン積分（英語版）と呼ばれる公式 ∫ f ( x ) d q x = ( 1 − q ) ∑ j = 0 ∞ x q j f ( x q j ) {\displaystyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})} によって求めることができる。0 < q < 1 のとき、適当な 0 ≤ α < 1 に対して |f(x)xα| が半開区間 (0, A] 上有界となるならば、右辺の和は (0, A] 上で F(x) に収束する。 上記の q-積分は、無限個の点 x = qj においてそれぞれ qj だけ跳んで増加する階段函数に関するリーマン–スティルチェス積分である。そのような階段函数を gq(t) と書けば、dgq(t) = dqt となる。
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