階段函数とは? わかりやすく解説

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階段関数

(階段函数 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/19 14:50 UTC 版)

階段関数

階段関数(かいだんかんすう、: step functionまたは: staircase function)とは、おおまかに言って、グラフ階段状になる実関数のことである。より正確には、区間上の指示関数有限[要出典]個あって、それらの線型結合で表される関数である。有限個[要出典]のみの区分を持った、区分的に定数関数である関数とも表現できる。

定義

関数 f : RR階段関数であるとは、ある整数 n が存在して、n 個の実数 α1,..., αnn 個の区間 A1,..., An 上の指示関数 χ1,..., χn によって、

  • 定数関数は自明な階段関数である。階段関数の定義において、n = 1, A1 = R として得られる。
  • ヘヴィサイドの階段関数は、しばしば応用に用いられる重要な階段関数である。n = 3, A1 = (-∞ 0), A2 = [0, 0], A3 = (0, ∞) として得られる。
  • 矩形関数は、R を5つの区間に分けて得られる階段関数である。

性質

階段関数のとる値は、有限個の可能性しかない。階段関数の定義において、区間 Ai たちを互いに素な R分割にとっておけば、Ai の任意の x に対して f(x) = αi となる。

階段関数

ルベーグ積分は、区間 Ai長さ L (Ai) が全て有限である場合、

で与えられる。

2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は R 上の代数を成す。

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