クレローの方程式とは？わかりやすく解説

クレローの方程式（クレローのほうていしき、Clairaut's equation）とは、次の形の微分方程式である。

y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)

この方程式の名はアレクシス・クレローにちなんだものである。また、次の一階偏微分方程式もクレローの方程式と呼ばれる。

\displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})

解法

y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)

を解くには、まず両辺を x について微分する。

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}

整理して

0=\left(x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}

を得る。これより、

0={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}

であるか、または

0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)

である。前者の場合、ある定数 C があって C = dy/dx となる。これを元の方程式に代入すると、

y(x)=Cx+f(C)\,

という関数の族が得られる。これをクレローの方程式の一般解という。

後者の場合、

0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)

という式からはただひとつの解 y(x) しか得られず、これを特異解と呼ぶ。特異解のグラフは一般解のグラフの包絡線になっている。

クレローの一階偏微分方程式

u = xu_x + yu_y + f(u_x,u_y)

は、シャルピの解法により解ける。

p = u_x、q = u_y、F(x,y,u,p,q) = u - xp - yq - f(p,q)

とおけば、同方程式は F(x,y,u,u_x,u_y)=0 である。

F_x = -p、F_y = - q、F_u = 1

F_p = -x - f_p、F_q = -y - f_q

だから、補助方程式は、

{\frac {dx}{x+f_{p}}}={\frac {dy}{y+f_{q}}}={\frac {du}{xp+pf_{p}+yq+qf_{q}}}={\frac {dp}{0}}={\frac {dq}{0}}

である。後二式は dp = dq = 0 の意味だから、u_x = a、u_y = b とおくと、

u = ax + by + f(a,b)　　…　(1)

である。よって、a、b を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。

完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。実際、(1) を a、b で偏微分した関係式

x + f_a(a,b) = y + f_b(a,b) = 0

と (1) から a、b を消去できる場合には、解が得られる。

また、任意関数 g により、完全解の平面族の積分定数に関係 b = g(a) を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。実際、(1) に b = g(a) を代入した式を a で微分した関係式

x + g’(a)y + f_a(a,g(a)) + f_b(a,g(a))g’(a) = 0

と (1) から a を消去できる場合には、解が得られる。