代数学的な性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:24 UTC 版)
対称差について、次の 4 つが成り立つ： (A△B)△C = A△(B△C) （結合法則）、 A△∅ = ∅△A = A、 A△A = ∅、 A△B = B△A （交換法則）。 X を 1 つの集合とし、P(X) を X の冪集合とする。P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させれば、P(X) における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して P(X) はアーベル群となる。空集合 ∅ はその群の単位元である。P(X) の任意の元 A に対して A は A の逆元であるから、P(X) はブール群でもある。X がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 P(X) はクラインの四元群 Z2 × Z2 と同型である。 共通部分は対称差に対して分配法則を満たす： A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)。 よって、X を 1 つの集合とするとき、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させて得られる二項算法を加法とし、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A∩B を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、P(X) は環となる。また、P(X) はブール環でもある。
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