接線の方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 12:50 UTC 版)
詳細は「円の接線（英語版）」を参照 円上の点 P における接線は、P を通る直径に垂直である。したがって、円の中心を (a, b), 半径を r とし、P := (x1, y1) とすれば、垂直条件により接線の方程式は (x1 − a)x + (y1 – b)y = c の形をしていなければならない。これが (x1, y1) を通るから c は決定できて、接線の方程式は ( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = ( x 1 − a ) x 1 + ( y 1 − b ) y 1 {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}} または ( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}} の形に書ける。y1 ≠ b ならばこの接線の傾きは d y d x = − x 1 − a y 1 − b {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}} であるが、これを陰函数微分法を用いて求めることもできる。 中心が原点にあるときは、接線の方程式は x 1 x + y 1 y = r 2 {\textstyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}} となり、傾きは d y d x = − x 1 y 1 {\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}} である。原点を中心とする円では、各点の位置ベクトル (x, y) と接ベクトル (dx, dy) が常に直交する（つまり、内積が零になる）から、 x d x + y d y = 0 x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}=0 は微分形の円の方程式である。
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