共焦曲線族
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 06:18 UTC 版)
クラス m の曲線 C の焦点 P1, P2, …, Pm について、P はこれら焦点の接線の方程式の積とし、Q は無限遠円点の接線の方程式の積とする。P = 0 および Q = 0 に対する共通接線はすべて、C に接するから、マックス・ネーターの基本定理（英語版）により、C の接線の方程式は HP + KQ = 0 の形を持つ。C はクラス m だから、H は定数かつ K は次数 m − 2 以下とならなければならない。H = 0 の場合は退化しているものとして除くことができるから、C の接線の方程式は、f を次数 m − 2 の任意の多項式として P + fQ = 0 の形に書ける。 例えば P1 = (1,0), P2 = (−1,0) とする。接線の方程式は X + 1 =0, X − 1 =0 だから、P = X2 − 1 = 0 である。一方、無限遠円点の接線の方程式は X + iY =0, X − iY = 0 だから Q = X2 + Y2 となる。従って、与えられた二点を焦点に持つ円錐曲線の接線の方程式は、X2 − 1 + c(X2 + Y2) =0 または (1 + c)X2 + cY2 = 1 で与えられる。ここで c は任意の定数である。点の座標を用いて書けば x 2 1 + c + y 2 c = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{1+c}}+{\frac {y^{2}}{c}}=1} となる。
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