各点の接線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/11 07:13 UTC 版)
曲線上の各点 (a, b) における接線は、陰伏的に定義された任意の可微分曲線に対すると同様に、方程式 (x − a)p'x(a, b) + (y − b)p'y(a, b) = 0 の定める直線である。多項式の場合には、より単純な定数項を持ち、より対称性の高い形の接線の公式 x p x ′ ( a , b ) + y p y ′ ( a , b ) + p ∞ ′ ( a , b ) = 0 {\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0} が存在する。ただし、p'∞(x, y) = P'z(x, y, 1) は無限遠における微分である。これら二つの方程式の同値性はオイラーの斉次函数定理を P に適用した結果である。 p'x(a, b) = p'y(a, b) = 0 ならば接線は存在せず、その点は特異点となる。 これは直ちに射影曲線の場合にも拡張できる。方程式 P(x, y, z) = 0 の定める射影曲線の、射影座標 (a:b:c) の点における接線の方程式は x P x ′ ( a , b , c ) + y P y ′ ( a , b , c ) + z P z ′ ( a , b , c ) = 0 {\displaystyle xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0} で与えられ、この曲線上の特異点は P x ′ ( a , b , c ) = P y ′ ( a , b , c ) = P z ′ ( a , b , c ) = 0 {\displaystyle P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0} で与えられる（条件 P(a, b, c) = 0 は、これらの条件から、オイラーの斉次函数定理により得られる）。
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