リーマンの存在定理とは？わかりやすく解説

数学の複素解析の分野ではリーマンの存在定理とは現代的にはコンパクトリーマン面の圏と完備複素代数曲線の圏が圏同値であるという主張だと述べることができる。

この定理は複素代数多様体の有限位相的被覆の圏と代数多様体の有限エタール被覆の圏が圏同値であるというGrauert–Remmertの定理の一般化として言及されることもある。

主張

X をコンパクトリーマン面, $p_{1},\cdots ,p_{s}$

この節の加筆が望まれています。（2025年6月）

For now, see SGA 1, Expose XII, Théorème 5.1., or SGA 4, Expose XI. 4.3.

帰結

この定理には数多くの帰結がある.

定義より X を複素代数多様体とすると, X の幾何的点xにおけるエタール基本群 は次のような射影極限である:

\pi _{1}^{{\acute {e}}t}(X,x)=\varprojlim \operatorname {Aut} _{X}(Y)

ここで $Y$ は $X$ の全ての有限ガロア被覆を渡る. リーマンの存在定理より, $\operatorname {Aut} _{X}(Y)=\operatorname {Aut} _{X^{an}}(Y^{an}).$ よって, $\pi _{1}^{{\acute {e}}t}(X,x)$ 通常の位相的基本群 $\pi _{1}(X^{an},x)$ of X at xの副有限完備化である事がわかる.^[1]

参考文献

Works

Harbater, David. "Riemann’s existence theorem." The Legacy of Bernhard Riemann After 150 (2015) (ed. by L. Ji, F. Oort, S.-T. Yau), Beijing-Boston: Higher Education Press and International Press, ISBN 978-1571463180
Ryan Patrick Catullo, Riemann Existence Theorem. A slide for the paper.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3, Paris: Société Mathématique de France, arXiv:math/0206203, Bibcode: 2002math......6203G, ISBN 978-2-85629-141-2, MR 2017446
M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, SGA 4, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1963–1964, Tomes 1 à 3, Avec la participation de N. Bourbaki, P. Deligne, B. Saint-Donat, version : c46c8b4 2018-12-20 13:39:00 +0100
Danilov, V. I. (1996). “Cohomology of Algebraic Varieties”. Algebraic Geometry II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 35. pp. 1–125. doi:10.1007/978-3-642-60925-1_1. ISBN 978-3-642-64607-2
Remmert, Reinhold (1998), From Riemann surfaces to complex spaces, France, Paris: S´emin. Congr., 3, Soc. Math
J. S. Milne (2008). Lectures on Étale Cohomology

External links

Riemann's existence theorem (Mathoverflow)
Finite Covers of Complex Varieties (Mathoverflow)
Riemann's existence theorem (NcatLab)

^ Milne, A subsection called "Varieties over $\mathbb {C}$ " after Remark 3.3.

[1] Milne, A subsection called "Varieties over $\mathbb {C}$ " after Remark 3.3.

[1]

リーマンの存在定理とは？わかりやすく解説