ハーディゼータ関数

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ハーディゼータ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/29 20:20 UTC 版)

Z function in the complex plane, plotted with a variant of domain coloring.

Z function in the complex plane, zoomed out.

ハーディゼータ関数（ハーディゼータかんすう、英語: Z function）は数学において、臨界線に沿ったリーマンゼータ関数を研究するために使用される関数である。

定義式

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ハーディゼータ関数はリーマンゼータ関数と リーマン・ジーゲルのシータ関数 を用いて次のようにあらわせる^[1][2]。

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

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臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、リーマン・ジーゲルの公式によって

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$