与えられた数より小さい素数の個数について
(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude から転送)
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『与えられた数より小さい素数の個数について』(あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて[1]、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある[2][3][4]。
本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。
この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy(特に z = 1/2 + iy)と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで s = 1/2 + it と書く慣習がある[注 1]。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。
導入された新定義
記載された証明又は証明のあらまし
- ζ(s) の関数等式についての二通りの証明
- ξ(t) の積表示[注 4]の証明のあらまし(1896年にアダマールが完全に証明)
- ξ(t) の零点のうち虚部が 0 と T の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし(1905年にフォン・マンゴルトが完全に証明)
- リーマンの素数公式の証明のあらまし(1895年にフォン・マンゴルトが完全に証明)
提起された予想
- リーマン予想:「ξ(t) の全ての零点は実数である」。α を ξ(t) の零点として、ζ(s) の負の偶数を除く零点は 1/2 + iα と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「ζ(s) の非自明な零点の実部は 1/2 に等しい」
導入された新たな技法等
リーマンはまた関数 J(x) を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、ζ(s) と素数分布との関連を論じた。そして log ζ(s) との比較を通じて、論文の主結果として J(x) を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 π(x) の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサンとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。
日本語訳
- 杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」(リーマン(2004)、155–162頁)
- 鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」(エドワーズ(2012)、314–321頁[5])
- 平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」(鹿野(1991)、17–28頁)
注釈
出典
- ^ 訳は右記文献の平林幹人による。(鹿野(1991)、17–28頁)
- ^ 黒川 et al. 1999, p. 123
- ^ 黒川 & 小山 2009, p. 31
- ^ 黒川 2009, pp. 29–31
- ^ リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について” (PDF). 信州大学. 2012年7月20日閲覧。
参考文献
- リーマン『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編、朝倉書店、2004年2月20日。ISBN 4-254-11460-5 。
- Harold M. Edwards (2001). Riemann's Zeta Function. Dover Publications. ISBN 0-486-41740-9
- ハロルド・M・エドワーズ『明解 ゼータ関数とリーマン予想』鈴木治郎訳、講談社、2012年6月25日。ISBN 978-4-06-155799-4 。
- 鹿野健編 編『リーマン予想』日本評論社、1991年9月。ISBN 4-535-78181-8 。
- 黒川, 信重; 梅田, 亨; 若山, 正人; 中島, さち子 (1999-6). ゼータの世界. 日本評論社. ISBN 978-4-535-78261-7
- 黒川, 信重; 小山, 信也 (2009-12). リーマン予想のこれまでとこれから. 日本評論社. ISBN 978-4-535-78550-2
- 黒川, 信重 (2009-11). リーマン予想の150年. 数学,この大きな流れ. 岩波書店. ISBN 978-4-00-006792-8
関連項目
外部リンク
「On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude」の例文・使い方・用例・文例
- Wii U本体の売り上げは,ソニー・コンピュータエンタテインメントのPlayStation 4(プレイステーション4)やマイクロソフトのXbox One(エックスボックス・ワン)の売り上げに後(おく)れを取っている。
- この傾向を逆転しようと,ソニー・コンピュータエンタテインメントが「PlayStation 4(プレイステーション4)」を2月に発売し,マイクロソフトが「Xbox One(エックスボックスワン)」を9月4日に売り出した。
- 新しいソフトには,PS4用の「ドラゴンクエストヒーローズ」やPS4とXbox One用の「メタルギアソリッド」シリーズの新作が含まれていた。
- 例えば,「On Jack Up」は機体がジャッキで持ち上げられて,地面から浮いていることを意味します。
- botherの単純過去系と過去分詞系
- 先行詞がthis,that,these,thoseの場合はwhichを用いるのが普通です。
- ウェストミンスター寺院 《the Abbey ともいう》.
- 《主に米国で用いられる》 = 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
- ビザンチン教会, 東方正教会 《the Orthodox (Eastern) Church の別称》.
- 【文法】 相関接続詞 《both…and; either…or など》.
- 【文法】 相関語 《either と or, the former と the latter など》.
- 名詞相当語句 《たとえば The rich are not always happier than the poor. における the rich, the poor など》.
- 《主に米国で用いられる》 = 《主に英国で用いられる》 the corn exchange 穀物取引所.
- (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
- 前置詞付きの句, 前置詞句 《in the room, with us など》.
- 相互代名詞 《each other, one another》.
- 世界の屋根 《本来はパミール高原 (the Pamirs); のちにチベット (Tibet) やヒマラヤ山脈 (the Himalayas) もさすようになった》.
- 王立植物園 《the Kew Gardens のこと》.
- 王立オペラ劇場 《the Covent Garden Theatre のこと》.
- 《主に米国で用いられる》 = 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
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