解析的整数論

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解析的整数論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/17 05:39 UTC 版)

複素平面におけるリーマンのゼータ関数 ζ(s)．点 s の色は ζ(s) の値を表す。黒に近い色は零に近い値を表し、色相は偏角の値を表す。

数学において、解析的整数論（かいせきてきせいすうろん、英: analytic number theory）あるいは解析的数論、解析数論とは、整数についての問題を解くために解析学の手法を用いる、数論の一分野である。解析数論の始まりはペーター・グスタフ・ディリクレがディリクレの算術級数定理の最初の証明を与えるためにディリクレの L-関数を導入したときであるとしばしば言及されている。（素数定理やリーマンのゼータ関数を含む）素数に関する結果や（ゴールドバッハの予想やウェアリングの問題のような）加法的数論の結果が広く知られている。

解析的数論の分野

解析的数論は、用いる手法ではなく解く問題の種類によって、2つの主要な分野に分類することができる。

• 乗法的数論は、ある区間内の素数の個数を評価するというような、素数の分布を扱う。素数定理や算術級数の素数に関するディリクレの定理を含む。
• 加法的数論は、2よりも大きいすべての偶数は2つの素数の和であるというゴールドバッハの予想のような、整数の加法的構造に着目する。加法的数論の主要な結果の1つは、ウェアリングの問題の解である。

歴史

先駆け

解析的数論の多くは素数定理に動機づけられた。π(x) を素数個数関数とする。これは任意の実数 x に対して x 以下の素数の個数を与える関数である。例えば、10以下の素数は4つ (2, 3, 5, 7) あるから、π(10) = 4 である。素数定理は、x/ln x が π(x) の良い近似であることを示す定理である（ln は自然対数）。ここで良い近似とは、x → ∞ の極限で x/ln x が素数個数関数 π(x) に漸近することを指す：

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.$