ヤコビのテータ関数の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:57 UTC 版)
「テータ関数」の記事における「ヤコビのテータ関数の定義」の解説
ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す。 Θ ( u ) := ( 2 k ′ K π ) 1 / 2 exp ( ∫ 0 u d t Z ( t ) ) , Θ 1 ( u ) := Θ ( u + K ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&:=\left({\frac {2k'K}{\pi }}\right)^{1/2}\exp \left(\int _{0}^{u}\mathrm {d} t~Z(t)\right),\\\Theta _{1}(u)&:=\Theta (u+K).\end{aligned}}} ただし、 k ′ := 1 − k 2 {\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}\,}}} は補母数、 K = K ( k ) {\displaystyle K=K(k)} は第1種完全楕円積分、 Z ( u ) {\displaystyle Z(u)} はヤコビのツェータ関数 Z ( u ) := E ( u ) − E ( k ) u K ( k ) , E ( u ) := ∫ 0 u d t d n 2 t = ∫ 0 s n u d t 1 − k 2 t 2 1 − t 2 = ∫ 0 a m u d θ 1 − k 2 sin 2 θ , {\displaystyle {\begin{aligned}Z(u)&:={\mathcal {E}}(u)-{\frac {E(k)u}{K(k)}},\\{\mathcal {E}}(u)&:=\int _{0}^{u}\mathrm {d} t\,\mathrm {dn} ^{2}t=\int _{0}^{\mathrm {sn} u}\mathrm {d} t{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}=\int _{0}^{\mathrm {am} u}\mathrm {d} \theta {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }},\end{aligned}}} E ( u ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(u)} はヤコビのイプシロン関数、 E ( k ) {\displaystyle E(k)} は第2種完全楕円積分、 s n u = s n ( u , k ) {\displaystyle \mathrm {sn} \,u=\mathrm {sn} (u,k)} , d n u = d n ( u , k ) {\displaystyle dn\,u=dn(u,k)} はヤコビの楕円関数、 a m u = a m ( u , k ) {\displaystyle \mathrm {am} \,u=\mathrm {am} (u,k)} は振幅関数である。 また、ヤコビのエータ関数 H ( u ) := − i exp ( ( 2 u + i K ′ ) π i / ( 4 K ) ) Θ ( u + i K ′ ) , i := − 1 , H 1 ( u ) := H ( u + K ) , {\displaystyle {\begin{aligned}H(u)&:=-i\exp \left((2u+iK')\pi i/(4K)\right)\Theta (u+iK'),\quad i:={\sqrt {-1\,}},\\H_{1}(u)&:=H(u+K),\end{aligned}}} を含めて、 Θ ( u ) {\displaystyle \Theta (u)} , Θ 1 ( u ) {\displaystyle \Theta _{1}(u)} , H ( u ) {\displaystyle H(u)} , H 1 ( u ) {\displaystyle H_{1}(u)} のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある。ただし、 K ′ := K ( k ′ ) {\displaystyle K':=K(k')} である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている。 Θ ( u ) = ϑ 0 ( u / ( 2 ω 1 ) ) , Θ 1 ( u ) = ϑ 3 ( u / ( 2 ω 1 ) ) , H ( u ) = ϑ 1 ( u / ( 2 ω 1 ) , H 1 ( u ) = ϑ 2 ( u / ( 2 ω 1 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&=\vartheta _{0}(u/(2\omega _{1})),\quad \Theta _{1}(u)=\vartheta _{3}(u/(2\omega _{1})),\\H(u)&=\vartheta _{1}(u/(2\omega _{1}),\quad H_{1}(u)=\vartheta _{2}(u/(2\omega _{1})),\end{aligned}}} ただし、 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} は、楕円関数の基本周期の半分で、 τ = ω 3 / ω 1 {\displaystyle \tau =\omega _{3}/\omega _{1}} である（ 2 ω 1 {\displaystyle 2\omega _{1}} , 2 ω 3 {\displaystyle 2\omega _{3}} が楕円関数の基本周期に相当する）。 物理の教科書では後述の ϑ i ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}(z,\tau )} をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。
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