一般項と漸化式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/26 03:38 UTC 版)
調和数列とは、一般項 hn が a を初項とし定数 d を用いて h n = 1 a + ( n − 1 ) d {\displaystyle h_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}} と表せる数列 {hn} のことである。ここで −1/d は自然数でないとする。このとき、a は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている（調和中項）。調和数列の極限は 0 である。例としては、 12 , 6 , 4 , 3 , 12 5 , 2 , … , 12 n , … {\displaystyle 12,\,6,\,4,\,3,\,{\frac {12}{5}},\,2,\dots ,{\frac {12}{n}},\dots } 10 , 30 , − 30 , − 10 , − 6 , − 30 7 , … , 30 5 − 2 n , … {\displaystyle 10,\,30,\,-30,\,-10,\,-6,\,-{\frac {30}{7}},\dots ,{\frac {30}{5-2n}},\dots } などが挙げられる。 n 番目の項と m 番目の項の関係を表す漸化式は h n = h m 1 + ( n − m ) d {\displaystyle h_{n}={\frac {h_{m}}{1+(n-m)d}}} である。 この数列の隣接2項間漸化式は 1 h n + 1 = 1 h n + d h 1 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{h_{n+1}}}={\frac {1}{h_{n}}}+{\frac {d}{h_{1}}}\quad (n\geq 1)} である。
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