2の自然対数 （にのしぜんたいすう）は、自然対数関数 log x の x = 2log 2 と表記する。2の常用対数 との混同を避けるため ln 2 あるいは底 を明記して loge とも書かれる。log 2 は正の実数 であり、その値は
log 2 = 0.69314 71805 59945 30941 72321… である。この数は無理数 であるので数字の循環しない無限小数 である。さらに超越数 であるため、代数方程式 の解にはならない。連分数 表記では
log 2 = [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, …] となる。また、この数は、核反応 や化学反応 において物質 濃度 の半減期 を求める際に現れる数である。
定義 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... という級数の部分和（黒線）が
log 2 （赤線）に収束する様子
ネイピア数 e を底とした実数 x を変数 とする対数関数 log x が x = 2log 2 である。対数関数は指数関数 の逆関数 であるので、
e z を満たすただ一つの実数の z が log 2 である。
対数関数のテイラー展開 は
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
(
|
x
|
<
1
)
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad (|x|<1)}
である。これに形式的に x = 1
log
2
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
⋯
{\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }
となるが、この級数 は実際に log 2 に収束 することが知られている（→交項級数 、アーベルの連続性定理 ）。
数学的性質 ディリクレ のイータ関数（英語版 ） は
η
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
s
{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}
と定義されるので、上記のテイラー展開から、
η (1) = log 2である。また、log 2 は以下のような級数でも求められる。
log
2
=
∑
n
=
1
∞
1
n
⋅
2
n
{\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot 2^{n}}}}
log
2
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
1
3
n
+
1
−
1
3
n
+
2
+
1
3
n
+
3
)
{\displaystyle \log 2=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{3n+1}}-{\frac {1}{3n+2}}+{\frac {1}{3n+3}}\right)}
log
2
=
1
2
∑
n
=
0
∞
1
(
−
4
)
n
(
2
4
n
+
1
−
1
4
n
+
3
−
1
4
n
+
4
)
{\displaystyle \log 2={\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(-4)^{n}}}\left({\frac {2}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)}
log
2
=
1
3
∑
n
=
0
∞
1
(
−
27
)
n
(
3
6
n
+
1
−
2
6
n
+
3
−
1
6
n
+
4
)
{\displaystyle \log 2={\frac {1}{3}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(-27)^{n}}}\left({\frac {3}{6n+1}}-{\frac {2}{6n+3}}-{\frac {1}{6n+4}}\right)}
さらに、
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
の第 N 項までの部分和と log 2 との差は
∑
n
=
1
N
(
−
1
)
n
+
1
n
−
log
2
=
(
−
1
)
N
(
1
2
N
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
T
n
4
N
N
2
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}-\log 2=(-1)^{N}\left({\frac {1}{2N}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}T_{n}}{4^{N}N^{2n}}}\right)}
と表される。ここで、Tn は n 番目のタンジェント数 である。
積分 では
∫
1
2
d
x
x
=
log
2
{\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\log 2}
であるから、双曲線 y = 1/x 直線 x = 1, x = 2y = 0x 軸）とに囲まれた図形 の面積 は log 2 である。
リンデマンの定理 より log 2 は超越数 であり、したがって無理数 である。
log 2 が正規数 かどうかは分かっていない。
その他の性質 反応速度 原子核反応 や化学反応の速度 は、反応物質の濃度に比例 する場合が多い。この法則をもとに濃度の半減期を求めると、以下のように log 2 が現れる。
まず濃度を C , 反応速度定数 を k とおくと、C を時間 t で微分 したものがこの場合の速度なので、
−dC /dt = kC となる。濃度は単調減少 するので、速度の符号 は負であることに注意。ここで、
初期条件 として、t = 0C = C 0 境界条件 として、t = τ C = C 0 /2を与えて定積分 すると、
∫
C
0
C
0
/
2
d
C
C
=
∫
0
τ
−
k
d
t
{\displaystyle \int _{C_{0}}^{C_{0}/2}{\frac {dC}{C}}=\int _{0}^{\tau }-kdt}
log
C
0
/
2
C
0
=
−
k
τ
{\displaystyle \log {\frac {C_{0}/2}{C_{0}}}=-k\tau }
となり、
log 2 = kτ となる。すなわち、上記の微分方程式で表されるあらゆる反応において、log 2 は反応速度定数と半減期の積 になっている。
72の法則 複利 計算における「倍増年」（元利合計が2倍になる年数）の近似計算にも log 2 が現れる。
元金 を X (> 0)利率 を r (> 0)n 年後に元利合計が2倍になるとすれば、
X (1 + r )n X となる。この両辺の自然対数 をとると
n log(1 + r ) = log 2n = log 2/log(1 + r )ここで、r ≪ 1r が 1 に比べて十分に小さい場合には、log(1 + r ) ≒ r と近似 できるので、
n ≒ (log 2)/r ≒ 0.693/r となる。
すなわち「倍増年」は、「0.693を年利で割った値」又は「69.3を年利（%表示）で割った値」で近似できる。実用上は、69.3を切りの良い70や約数 の多い72で置き換えることが多い。たとえば、年利が3%ならば、72÷3 = 24 なので、約24年後に元利合計が倍増する。この法則は、72の法則 と呼ばれ、15世紀のイタリアで知られていた。
関連項目 外部リンク 
