交代調和級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/06 09:58 UTC 版)
級数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots } は交代調和級数 (alternating harmonic series) として知られる。この級数の収束性はライプニッツの収束判定法（英語版）からわかる。とくにこの級数の和は 2 の自然対数に等しい。つまり 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln 2 {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2} が成り立つ。この式は自然対数関数のテイラー級数であるメルカトル級数（英語版）の特別な場合である。 逆正接関数のテイラー級数から、関連する級数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}} が導かれる。これはライプニッツの π の公式として知られる。
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