交代群との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:42 UTC 版)
n ≥ 5 のとき交代群 An は単純で、それによって誘導される商は符号函数である。すなわち、短完全列 1 → A n → S n → C 2 → 1 {\displaystyle 1\to A_{n}\to S_{n}\to C_{2}\to 1} (ただし C 2 {\displaystyle C_{2}} は位数2の巡回群) は二つの元の互換を取ることによって分裂する。ゆえに、Sn は半直積 A n ⋊ C 2 {\displaystyle A_{n}\rtimes C_{2}} に分解され、かつそれ以外の真の正規部分群を持たないことがわかる。実際、部分群があれば An との交わりは単位群（したがってそれ自身単位群か二元群だが後者は正規ではない）または An（したがってそれ自身 An または Sn）だからである。 Sn は部分群である An に共軛によって作用し、n ≠ 6 のとき Sn は An の全自己同型群となる。 Aut ( A n ) ≅ S n . {\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{n})\cong S_{n}.} 偶置換による共軛は An の内部自己同型であり、対して An の位数 2 の外部自己同型（英語版）は奇置換による共軛に対応する。n = 6 のときは、A6 に例外型の外部自己同型（英語版）が存在するので、S6 は A6 の全自己同型群とはなっていない。 したがって、n ≠ 6 のとき Sn は外部自己同型を持たず、さらに n ≠ 2 のとき中心を持たない。ゆえに n ≠ 2, 6 のとき Sn は完全（英語版）である（後述）。 n ≥ 5 のとき Sn は概単純群（英語版）であり、それは単純群 An とその自己同型群の間に位置するものとみなされる。
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