加速される理由
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/20 17:10 UTC 版)
「エイトケンのΔ2乗加速法」の記事における「加速される理由」の解説
以下に見るように、エイトケンの Δ2 加速法は一種のはさみうち法である。今、sn+1 は sn によって決まり、数列はある極限値 α へ収束すると仮定する。 s n + 1 = g ( s n ) ⟶ α , ( n ⟶ + ∞ ) , {\displaystyle s_{n+1}=g(s_{n})\longrightarrow \alpha ,\quad (n\longrightarrow +\infty ),} したがって、 α は g(x) の不動点 (fixed point) である。α を求めることは、方程式 x = g(x) の解を求めることと等価であり、図形的には、直線 y = x と曲線 y = g(x) の交点を求めることに等しい。ここで図を参照すると、2点 P n := ( s n , g ( s n ) ) = ( s n , s n + 1 ) , {\displaystyle P_{n}:=(s_{n},g(s_{n}))=(s_{n},s_{n+1}),\;} P n + 1 := ( s n + 1 , g ( s n + 1 ) ) = ( s n + 1 , s n + 2 ) {\displaystyle P_{n+1}:=(s_{n+1},g(s_{n+1}))=(s_{n+1},s_{n+2})} を通る直線 L の方程式は、 y − s n + 2 = s n + 1 − s n + 2 s n − s n + 1 ( x − s n + 1 ) , {\displaystyle y-s_{n+2}={\frac {s_{n+1}-s_{n+2}}{s_{n}-s_{n+1}}}(x-s_{n+1}),} で与えられる。 L と直線 y = x との交点を Q = (x0, x0) とすると、L の方程式に y = x = x0 を代入して、 x 0 = s n − ( s n + 1 − s n ) 2 s n + 2 − 2 s n + 1 + s n , {\displaystyle \;x_{0}=s_{n}-{\frac {(s_{n+1}-s_{n})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}},\;} を得る。図では、交点 Q は Pn+2 よりも不動点 F := (α, α) に近づいている。これがエイトケンの Δ2 加速法の定義式の理由である。
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