視覚的証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/11 03:59 UTC 版)
「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯」の記事における「視覚的証明」の解説
級数 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … は非常に単純な視覚的証明に適している。というのも正方形や三角形は、もとの図形と相似な4つの部分に分けて、各部分の面積がもとの 1/4 になるようにできるからである。 左側の図形において、大きい正方形の面積が 1 であるとすると、最も大きい黒い正方形の面積は (1/2)2 = 1/4 である。同様に、2番目に大きい黒い正方形の面積は 1/16 であり、3番目に大きい黒い正方形の面積は 1/64 である。したがって、すべての黒い正方形を足し合わせた面積は 1/4 + 1/16 + 1/64 + … であり、これはまたグレーの正方形や白の正方形を足し合わせた面積でもある。これらの3つの領域は単位正方形を覆っているので、図から次のことがわかる。 3 ( 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + 1 4 4 + ⋯ ) = 1 {\displaystyle 3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1} 一番上に記載した、アルキメデス自身が描写した図形は、左の図形とは少し異なっていて、以下の方程式の方が近い。 3 4 + 3 4 2 + 3 4 3 + 3 4 4 + ⋯ = 1 {\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1} アルキメデスの解釈の詳細については以下を見られたい。 同じ幾何学的戦略は、右側の図にあるように、三角形に対してもうまくいく。大きい三角形の面積が 1 であれば、最も大きい黒い三角形の面積は 1/4 で、あとは同様。図は全体として、大きい三角形とその上部の三角形の間で自己相似である。角の部分の3つすべてに対して同様のことをして構成すると、シェルピンスキーのギャスケットになる。
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