関数空間とコンパクト化とは? わかりやすく解説

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関数空間とコンパクト化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/07/07 07:32 UTC 版)

コンパクト化」の記事における「関数空間とコンパクト化」の解説

チコノフ空間 X {\displaystyle X} とそのハウスドルフコンパクト化 ( i , K ) {\displaystyle (i,K)} に対して X {\displaystyle X} 上の関数空間 C i ( X ) := { f ∘ i : f ∈ C ( K ) } {\displaystyle C_{i}(X):=\{f\circ i\colon f\in C(K)\}} を考える。このとき自然な写像 i ∗ : X → ∏ f ∈ C i ( X ) I m ( f ) ¯ {\displaystyle i^{*}:X\to \prod _{f\in C_{i}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} は像への同相写像となる。さらに関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成同様の議論により i ∗ ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {i^{*}(X)}}} はコンパクトでありしかも K {\displaystyle K} と同相。以上のことからハウスドルフコンパクト化関数空間適切に制限することで関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成同様の方法与えることが出来る。 この方法は種々のコンパクト化構成する上で基本的な方法となっている。

※この「関数空間とコンパクト化」の解説は、「コンパクト化」の解説の一部です。
「関数空間とコンパクト化」を含む「コンパクト化」の記事については、「コンパクト化」の概要を参照ください。

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