三角関数の部分分数展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/02/09 06:58 UTC 版)
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証明
初めに余接関数の部分分数展開について示す。 そのために、
として、恒等的にであることを確かめる。の極限において
であるからの極は除去され、であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。従って、はにおいて有界である。と書き
を仮定すれば
の置換により
となるから、はにおいて有界であるが、であるから複素平面全体においても有界である。従って、リウヴィルの定理によりである。
他の関数については
円周率の公式
余接関数の部分分数展開の両辺を微分して比較することにより
が導かれる。(→バーゼル問題)
出典
注釈
関連項目
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