部分分数展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 16:11 UTC 版)
詳細は「三角関数の部分分数展開」を参照 三角関数は以下のように部分分数に展開される。 π cot π z = lim N → ∞ ∑ n = − N N 1 z + n = 1 z + ∑ n = 1 ∞ 2 z z 2 − n 2 π tan π z = − lim N → ∞ ∑ n = − N N 1 z + 1 / 2 + n = − ∑ n = 0 ∞ 2 z z 2 − ( n + 1 / 2 ) 2 π sin π z = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( − 1 ) n z + n = 1 z + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 z z 2 − n 2 π cos π z = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( − 1 ) n z + 1 / 2 + n = − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) z 2 − ( n + 1 / 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi \cot \pi z&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z+n}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}\\\pi \tan \pi z&=-\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z+1/2+n}}=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}\\{\frac {\pi }{\sin \pi z}}&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{z+n}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2z}{z^{2}-n^{2}}}\\{\frac {\pi }{\cos \pi z}}&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{z+1/2+n}}=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}\end{aligned}}}
※この「部分分数展開」の解説は、「三角関数」の解説の一部です。
「部分分数展開」を含む「三角関数」の記事については、「三角関数」の概要を参照ください。
- 部分分数展開のページへのリンク
