部分半群とイデアル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/06 09:06 UTC 版)
半群演算はその部分集合の全体における演算を誘導する。半群 (S, ∗) の部分集合 A, B が与えられたとき、A ∗ B あるいはよく AB で表される S の部分集合を A B := { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle AB:=\{ab\mid a\in A,\,b\in B\}} で与える。この演算の語法に従えば、半群 S の部分集合 A について A が S の部分半群 (subsemigroup) であるとは、AA ⊂ A が満たされるときに言う。 A が S の右イデアル (right ideal) であるとは、AS ⊂ A となるときに言う。 A が S の左イデアル (left ideal) であるとは、SA ⊂ A が成り立つことを言う。 A が左イデアルかつ右イデアルであるならば、A を両側イデアル (two-sided ideal) あるいは単にイデアル (ideal) と呼ぶ。 S が半群ならば、S の部分半群からなる（任意濃度の）族の交わりは、再び S の部分半群となる。すなわち、S の部分半群の全体は完備束を成す。 極小イデアル（包含関係に関して極小なイデアル）を持たない半群の例は、正の整数全体が加法に関して成す半群 N である。可換半群の極小イデアルは（存在するならば）群を成す。 元をそれが生成する主イデアルの言葉で特徴付ける、五つの同値関係からなるグリーンの関係式（英語版）は半群のイデアルや関連する構造概念を調べる重要な道具である。
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