半群の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/06 09:06 UTC 版)
空半群: 空集合は空写像を演算として半群を成す。半群の定義に台集合が空でないことを課して、空半群を除外することもある。 一元半群: 一元集合 {a} に aa = a で演算を定めたものは、ただひとつの元からなる半群となる。これは（同型の違いを除けば）本質的に一つしか存在しない。しばしばこれを自明半群 (trivial semigroup) と呼ぶ。 二元半群: 台集合が二元からなる半群は同型を除いて五種類の異なったものが存在する。 正の整数の全体の成す集合 N は加法に関して半群を成す。 非負正方行列（すべての成分が非負であるような正方行列）の全体に行列の積を与えたものは半群を成す。 第一列が全て0であるような2次正方行列全体に行列の積を与えたものは半群を成す。またこれはモノイドにはならない。 任意の環のイデアルは環の乗法に関する半群である。 文字集合 Σ を固定して、その上の有限文字列の全体を考えれば、文字列の連接を演算とする半群を得られる。これを Σ 上の自由半群という。空文字列をも含めて考えるならこの半群は Σ 上の自由モノイドとなる。 確率分布 F に対して、F の畳み込み冪全体の成す集合に畳み込みを演算として考えたものは半群を成す。これは畳み込み半群 (convolution semigroup) と呼ばれる。 任意のモノイドは単位元を持つ半群である。 任意の群は各元が逆元を持つモノイドである。 繰り込み群は群ではないが、慣用されている呼称である。
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