半群のクラス

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半群のクラス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/06 09:06 UTC 版)

「半群」の記事における「半群のクラス」の解説

モノイドは単位的半群である。 部分半群は半群の部分集合であって、もとの半群の演算について閉じているようなものである。部分半群が群を成すならば、それをもとの半群の部分群と呼ぶ。 帯はその演算が冪等であるような半群である。 消約半群は左消約律「ab = ac ならば b = c」かつ右消約律「ba = ca ならば b = c」を満たす半群である。 半束はその演算が冪等かつ可換な半群である。 0-単純半群 変換半群は何らかの集合上の変換からなる、写像の合成を積とする半群である。任意の有限半群 S は高々 |S| + 1 個の状態をもつ（状態）集合 Q 上の変換半群として表現することができる。S の各元 x は Q をそれ自身に写す写像 x: Q → Q であり、列 xy は Q の各元 q に対して q(xy) = (qx)y と定義される。変換の列を作る操作は明らかに結合的演算で、ここでは写像の合成と等価である。この表現は任意のオートマトンあるいは有限状態機械 (FSM) に対する基本である。 双巡回半群（英語版）（実はモノイド）は、二つの生成元 p, q が生成する自由半群を基本関係式 pq = 1 で割ったものとして得られる。 C0-半群は発展方程式の解の時間発展を表す半群である。これは解析学における半群の代表例である。 正則半群は各元 x が少なくとも一つの一般化逆元 y（xyx=x かつ yxy=y を満たす元）を持つ半群である。このとき元 x および y は「互いに逆である」("mutually inverse") ということもある。 逆半群は任意の原がちょうど一つの一般化逆元をもつような正則半群である。あるいは、正則半群が逆半群となるために必要十分な条件として、任意の二つの冪等元が互いに可換となることが挙げられる。 アフィン半群は Zd の有限生成部分半群に同型な半群である。アフィン半群は可換環論に応用を持つ。