部分バラエティ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 04:57 UTC 版)
「バラエティ (普遍代数学)」の記事における「部分バラエティ」の解説
バラエティの部分バラエティとは V {\displaystyle V} と同一のシグネチャをもつ V {\displaystyle V} の部分クラスであってそれ自体もバラエティとなっているものである。つまり部分バラエティもまた等式で定義される。 群は定数としての単位元が除かれると(あるいは逆元を取る操作が除かれると)半群となるが、群の構成するクラスは半群の構成するバラエティの部分バラエティとはならないことに注意されたい。同様にして、群でもあるとうな半群のクラスもまた半群の部分バラエティではない。群でもあるようなモノイドのクラスは ⟨ Z , + ⟩ {\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle } を含みその部分代数(より正確には部分モノイド) ⟨ N , + ⟩ {\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle } を含まない。 しかし、アーベル群のクラスはシグネチャに手を加えなくても x y = y x {\displaystyle xy=yx} を満たす群の集合となっているため群の部分バラエティとなっている。有限生成アーベル群は有限生成アーベル群のどのような直積も有限生成とはならないため、バーコフの定理からバラエティでないことがわかる。 バラエティ V {\displaystyle V} とその準同型を圏として見ると、圏 V {\displaystyle V} の部分圏 U {\displaystyle U} はの充満部分圏であり U {\displaystyle U} のどの対象 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} についても準同型 a → b {\displaystyle a\to b} は V {\displaystyle V} と同一のものである。
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