作用付き半群

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作用付き半群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 17:25 UTC 版)

「逆元」の記事における「作用付き半群」の解説

逆半群の自然な一般化は、S の任意の元 a に対して、(a°)° = a となるような勝手な単項演算 "°" を定義することである。これは S に ⟨2,1⟩-型の算号系を持つ代数系の構造を与える。このような単項演算を備えた半群は U-半群と呼ばれる。a° は a の逆元をあらわしているようにも見えるが、いまは必ずしもそうでなくてよい。意味のある概念を得るためには、この単項演算は半群の演算と何らかの形で関わりを持つようにする必要がある。よく調べられている U-半群のクラスに I-半群: 単項演算 "°" と半群演算との相互関係式を aa°a = a で与えたもの、 ∗-半群: 単項演算 "°" と半群演算との相互関係式を (ab)° = b°a° で与えたもの。このような単項演算は対合と呼ばれ、しばしば "∗" で表される。 のふたつがある。群が I-半群にも ∗-半群にもなることは明らかである。I-半群にも ∗-半群にもなるような構造というのがちょうど逆半群の構造である。半群論における重要な半群のクラスは、I-半群であってさらに関係式 aa° = a°a も成立する（言い換えれば、任意の元 a が a° を自身と交換可能な擬逆元として持つ）完備正則半群（英語版） である。このような半群の具体的な例は少ないが、そのほとんどは完全単純半群（英語版）である。翻って、∗-半群の重要なクラスは、正則 ∗-半群であり、このクラスの唯一つの擬逆元を持つ最もよく知られた例はおそらくムーア・ペンローズ擬似逆行列である。ただし、この場合の対合 a∗ は擬逆行列ではない。もっと言えば、行列 x の擬逆行列は xyx = x, yxy = y, (xy)∗ = xy, (yx)∗ = yx をすべて満たす唯一の元 y である。正則 ∗-半群は逆半群の一般化であるから、このように定まる正則 ∗-半群の唯一の元は一般化逆元 (generalized inverse) あるいはペンローズ・ムーア逆元 (Penrose-Moore inverse) と呼ばれる。正則 ∗-半群 S において「S の任意の元 a に対して aa∗ および a∗a が F(S) に属すような逆元 a∗ がちょうどひとつ存在する」となるような、Pシステム（英語版）と呼ばれる冪等元からなるとくべつな部分集合 F(S) を考えることができる。