半群の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/06 09:06 UTC 版)
S の任意の部分集合 A に対し、A を含むような S の最小の部分半群 T が存在する。この T を A が生成する (generate) 部分半群という。S の一つの元 x が（つまり単元集合 {x} が）生成する部分半群（の台集合） { xn | n は正の整数} が有限集合であるとき、x は有限な位数を持つ、あるいは位数有限 (finite order) であるといい、そうでないとき無限位数を持つあるいは位数無限 (infinite order) であるという。半群が周期的 (periodic) あるいはねじれ半群 (torsion semigroup) であるとは、その任意の元が位数有限であるときに言う。また、ただ一つの元から生成される半群は単項生成または巡回半群であるという。巡回半群が位数無限ならばそれは正の整数全体が加法に関して成す半群に同型であり、位数有限かつ空でないならば少なくとも一つは冪等元を含まねばならない。したがって、任意の空でない周期的半群は少なくともひとつの冪等元を含む。 半群の部分半群は、それ自身が群を成すならば部分群と呼ばれる。半群の部分群と半群の冪等元の間には近しい関係が存在する。半群の各部分群はちょうど一つの冪等元を含み、それはつまり部分群の単位元である。逆に、半群の各冪等元 e に対し、e を含む極大部分群が唯一つ存在する。半群の各極大部分群は必ずこのやり方で得ることができ、したがって半群の極大部分群と冪等元との間に一対一対応がとれる。ここでの、極大部分群は群論における標準的な語法とは異なる。 位数有限の場合にはさらにいろいろなことが言える。例えば、任意の空でない有限半群は、周期的で、極小イデアルを持ち、少なくとも一つの冪等元を持つ。さらなる有限半群の構造についての議論はKrohn-Rhodes理論（英語版）の項を参照せよ。
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