例4：余接関数の部分分数展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/03 01:42 UTC 版)
「留数」の記事における「例4：余接関数の部分分数展開」の解説
同じ技巧を用いて、整数でない任意の複素数 z について π cot ( π z ) = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( z − n ) − 1 {\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}} が各点収束の意味で成り立っていることが証明できる（部分分数展開）。 w を整数でない複素数として、f(z) = (w − z)−1 ととる。例3と同様にして 1 2 π i ∫ Γ N f ( z ) π cot ( π z ) d z = Res z = w f ( z ) π cot ( π z ) + ∑ n = − N N 1 w − n = − π cot ( π w ) + ∑ n = − N N 1 w − n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz&=\operatorname {Res} \limits _{z=w}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\\&=-\pi \cot(\pi w)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\end{aligned}}} が得られる。今回難しいのは、左辺の複素線積分が消えることの証明である。そこで ∫ Γ N π cot ( π z ) z d z = 0 {\displaystyle \int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z}}\,dz=0} であることを利用する。これが成り立つのは、被積分関数が偶関数であるため、左半平面にある経路からの寄与と右半平面にある経路からの寄与が互いに打ち消し合うからである。 よって、 ∫ Γ N f ( z ) π cot ( π z ) d z = ∫ Γ N ( 1 w − z + 1 z ) π cot ( π z ) d z {\displaystyle \int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\int _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{w-z}}+{\frac {1}{z}}\right)\pi \cot(\pi z)\,dz} は N → ∞ のとき 0 に収束する。 このことと留数定理の等式とをあわせて、文字を w から z に取り換えれば、最初に提示した等式になる。
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