K[X] の剰余環と根体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
「多項式環」の記事における「K[X] の剰余環と根体」の解説
「根体」および「分解体」も参照 K 上の多項式環 K[X] は K に唯一つの元 X を添加して得られる。これに対し、K を含む可換環 L が K に唯一つの元を付け加えたものから環として生成されるようなものならば、L は K[X] を用いて書き表すことができる。特に、K の有限次拡大に対して適用できる。 可換環 L が K を含み、L の一つの元 θ が存在して、L が θ によって K 上生成されるとすると、L の任意の元は θ の冪の係数を K に持つ線型結合になっている。したがって、K[X] から L への環準同型 φ で、K の元は動かさず（K 上では恒等写像として作用子）X の冪を θ の同じ冪へ写すようなものが唯一つ存在する。この φ は一般の多項式に対して X の θ への置き換え ϕ ( a m X m + a m − 1 X m − 1 + ⋯ + a 1 X + a 0 ) = a m θ m + a m − 1 θ m − 1 + ⋯ + a 1 θ + a 0 {\displaystyle \phi (a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0})=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}} として作用する。仮定により、L の任意の元は適当な m と K の元 a0, …, am を選んで上式の右辺の形に表されるから、φ は全射であり L は K[X] の準同型像となる。もっと形式的に、Ker φ を φ の核とすると、これは K[X] のイデアルであって、第一準同型定理により、L は多項式環 K[X] のイデアル Ker φ による商に同型である。多項式環は主イデアル環であるから、このイデアルも単項生成であって、多項式 p ∈ K[X] で L ≃ K [ X ] / ( p ) {\textstyle L\simeq K[X]/(p)} となるものが存在する。特に重要な応用は、大きいほうの環 L が体の場合である。このとき多項式 p は既約多項式でなければならない。反対に、原始元定理によれば体の任意の有限次分離拡大 L/K は単一の元 θ ∈ L によって生成することができ、上述の理論により体 L は多項式環 K[X] の既約多項式 p の生成する単項イデアルによる商として具体的な記述が与えられる。実例として、複素数体 C は実数体 R に i2 + 1 = 0 を満たす i を唯一つ付け加えて得られる。それに応じ、多項式 X2 + 1 は R 上既約であって C ≃ R [ X ] / ( X 2 + 1 ) {\textstyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)} という同型が成立する。
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