群と対称変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 05:53 UTC 版)
詳細は「対称変換群（英語版）」を参照 与えられた任意の種類の構造を持つ対象 X に対し、その対称変換（あるいは対称性、symmetry）とは対象 X からそれ自身の上への構造を保つ変換のことを言う。これは多くの場面で見つかるが、たとえば 対象 X が特に付加的な構造を持たないただの集合であるとき、X の対称変換とは集合 X からそれ自身への全単射のことであり、その全体として対称群が得られる。 対象 X が距離構造を備えた平面上の点の集合（あるいはもっとほかの距離空間）であるとき、X の対称性とは集合 X 上の全単射であって、X 上の任意の二点間の距離を保つもの（等距変換）のことである。これに対応する群は X の等距変換群と呼ばれる。 先ほどと同じ集合で距離の代わりに角を保つものは共形写像あるいは等角写像と呼ばれる。等角写像の全体からは、例えばクライン群が得られる。 対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。例えば、方程式 x 2 − 3 = 0 {\displaystyle x^{2}-3=0} は二つの根 ±√3 を持つが、このとき、この二つの根を入れ替えるという対称変換が考えられ、これによって得られる群が、この方程式に属するガロア群と呼ばれるものである。一変数の任意の代数方程式が、その根の上のある種の置換群としてのガロア群を持つ。 群の公理は対称変換の本質的な性質を定式化するものであり、対称変換の全体は群を成す。実際、対象に対称変換を施してからさらに別の対称変換を施せば、得られる結果は再び対称変換であるから、対称変換は写像の合成に関して閉じている。また、対称を固定して動かさない恒等変換はかならずそ対象の対称変換である。逆元の存在については、対称変換の取り消しができるということによって保証され、群演算の結合性は対称変換が空間上の写像であり、写像の合成が結合的であることから従う。 フルフトの定理 (Frucht's theorem) は「任意の群は、あるグラフの対称変換群である」ことを主張するものである。従って任意の抽象群は、実際にある具体的な対象の上の対称変換の成す群として得られることになる。 対象の「構造を保存する」という言及は、圏で考えればもっと厳密に扱うことができる。つまり、構造を保つ写像とは射のことであり、対称変換群（対称性の群）とは考えている対象の自己射群である。
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