群の準同型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 15:09 UTC 版)
G, H を群とし、G, H の単位元をそれぞれ eG, eH とする。このとき、群を単位元を基点として持つ代数系とみなすことができて、群準同型 f: G → H に対して Ker f = { g ∈ G ∣ f ( g ) = e H } {\displaystyle \operatorname {Ker} f=\{g\in G\mid f(g)=e_{H}\}} となる。これは G の部分群、とくに正規部分群になることが確かめられる。 ここで、始域 G における関係を g1 ∼ g2 となるのは g1−1g2 ∈ Ker(f) となるとき、かつそのときに限るものと定義する。これは Ker(f) が G の部分群ゆえ同値関係を与える。このとき、g1−1g2 ∈ Ker(f) と f(g1)−1f(g2) = f(g1−1g2) = eH とが同値ゆえに g1 ∼ g2 となるのは f(g1) = f(g2) となるとき、かつそのときに限ると言い換えることができ、結局この関係は G × G の部分集合 K := { ( g 1 , g 2 ) ∈ G × G ∣ f ( g 1 ) = f ( g 2 ) } {\displaystyle K:=\{(g_{1},g_{2})\in G\times G\mid f(g_{1})=f(g_{2})\}} の定める関係と同じものであることが確かめられる。また、Ker(f) = {eG} となる意味で自明であるならば、g1 ∼ g2 は g1 = g2 と同値であるから、集合 K が定める関係としても自明である。
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