群の直積と半直積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:19 UTC 版)
群 G と群 H に対し、その直積集合 G × H 上に ( g 1 , h 1 ) ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 g 2 , h 1 h 2 ) {\displaystyle (g_{1},h_{1})(g_{2},h_{2})=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})} という積を定めることで群となる。これを群の（外部）直積または構成的直積という。また、群 G がその部分群 H1, H2 の（内部）直積である、あるいは直積に分解されるとは、以下の条件 H1 と H2 は G の部分群で G = H1H2 = {h1h2 | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} が成り立つ。 H1 ∩ H2 = {1G}, ただし 1G は G の単位元。 H1 の元と H2 の元は可換である。 がすべて満たされることをいう。 G = H 1 × H 2 {\displaystyle G=H_{1}\times H_{2}} で表す。右辺の直積を構成的直積と呼ぶこともある。G の部分群という構造を落として、H1, H2 の外部直積をつくったものと内部直積とは、二つの自然な埋め込み H 1 → H 1 × H 2 ; h ↦ ( h , 1 g ) , {\displaystyle H_{1}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (h,1_{g}),} H 2 → H 1 × H 2 ; h ↦ ( 1 g , h ) {\displaystyle H_{2}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (1_{g},h)} をそれぞれ同一視することで本質的に同じものであることがわかる。 群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に ( n 1 , h 1 ) ( n 2 , h 2 ) = ( n 1 f ( h 1 ) ( n 2 ) , h 1 h 2 ) {\displaystyle (n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})=(n_{1}f(h_{1})(n_{2}),h_{1}h_{2})} で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積といい、 G = N ⋊ H {\displaystyle G=N\rtimes H} で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。
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