群の準同型・同型
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:19 UTC 版)
群 G1 から群 G2 への写像 f が任意の G1 の元 g, g' について f(gg' ) = f(g)f(g' ) を満たすとき、f を準同型（写像）という。（G1 = G2のときは特に自己準同型という。）さらに準同型 f が全単射であれば、f を同型（写像）という。G1 から G2 への同型が存在するとき、G1 と G2 は同型であるといい、 G 1 ≃ G 2 {\displaystyle G_{1}\simeq G_{2}} あるいは G 1 ≅ G 2 {\displaystyle G_{1}\cong G_{2}} と表す。2つの群 G1, G2 とその間の準同型写像 f: G1 → G2 に対し、準同型 f の核 Ker f は G1 の正規部分群である。このとき f の像 Im f は G を f の核 Ker f で割った剰余群に同型である： G 1 / K e r f ≃ I m f . {\displaystyle G_{1}/\mathrm {Ker} \,f\simeq \mathrm {Im} \,f.} これを（群の）準同型定理（特に第一同型定理）という。 群 G の自己同型（G から G への同型写像）全体の成す集合を Aut(G) と表すと、 Aut(G) は写像の合成を積として群となる。Aut(G) を G の自己同型群と呼ぶ。 群 G の任意の元 g に対し、写像 Ag: G → G を Ag(x) = gxg−1 (for all x ∈ G) で定めると、この写像は G の自己同型を定める。この形で得られる自己同型を G の内部自己同型と呼び、G の内部自己同型全体の成す集合を Inn(G) と表す。Inn(G) は Aut(G) の正規部分群であり、Inn(G) を G の内部自己同型群と呼ぶ。さらに剰余群 Out(G) = Aut(G)/Inn(G) を外部自己同型群（英語版）とよび、その元を外部自己同型という。群 G の部分群 N が正規部分群であることと、N が G の任意の内部自己同型で不変であることは同値である。さらに N が Aut(G) の作用で不変なら N は G の特性部分群であるという。
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