群の置換表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/24 14:42 UTC 版)
「置換表現」も参照 群 G が与えられたとき、G の元 g の左・右・両側からの積 γ g : G → G ; x ↦ g x δ g : G → G ; x ↦ x g − 1 σ g : G → G ; x ↦ g x g − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{g}&\colon G\to G;\ x\mapsto gx\\\delta _{g}&\colon G\to G;\ x\mapsto xg^{-1}\\\sigma _{g}&\colon G\to G;\ x\mapsto gxg^{-1}\end{aligned}}} は G 上の全単射を与える。群 G から対称群 Sym(G) への写像 γ : G → Sym ( G ) ; g ↦ γ g δ : G → Sym ( G ) ; g ↦ δ g σ : G → Sym ( G ) ; g ↦ σ g {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &\colon G\to \operatorname {Sym} (G);\ g\mapsto \gamma _{g}\\\delta &\colon G\to \operatorname {Sym} (G);\ g\mapsto \delta _{g}\\\sigma &\colon G\to \operatorname {Sym} (G);\ g\mapsto \sigma _{g}\end{aligned}}} は群の準同型であり、これにより群 G の元は G 自身の上の置換群の元として表される。これが群の置換表現である。 置換表現を一元体上の線型表現と看做して表現論の一般論に組み込む試みが見られる。
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