群の位数に関する積の法則

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群の位数に関する積の法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 15:12 UTC 版)

数学の群論における積の法則（せきのほうそく、英: product formula, 仏: formule du produit; 積の公式）は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られる積および交叉という四つの集合の位数（集合の濃度）の関係を記述するものである。

第二同型定理 SN/N ≅ S/(S ∩ N) を表す平行四辺形図式: S が部分群、N が正規部分群ならば、積 SK と交叉 S ∩ N はともに部分群となり、準同型定理から所期の同型が導かれる（位数についてみれば、積の法則の成立がわかる）。

定理の主張

H, K は群 G の部分群とし、部分群の積 HK は hk (h ∈ H, k ∈ K) の形の G の元全体の成す集合を表す。また H, K, H ∩ K の位数をそれぞれ |H|, |K|, |H ∩ K| とするとき、これらと HK の位数 HK との間に、積の法則と呼ばれる関係式

$${\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}\qquad (\iff {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}})$$

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