ホモロジー関手とは? わかりやすく解説

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特異ホモロジー

(ホモロジー関手 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/01 06:45 UTC 版)

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数学の一分野である代数トポロジーにおいて、特異ホモロジー (singular homology) とは位相空間 X代数的不変量英語版のある種の集合、いわゆるホモロジー群 (homology group)


ホモロジー関手

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/10 13:06 UTC 版)

ホモロジー (数学)」の記事における「ホモロジー関手」の解説

チェイン複体 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}\colon A_{n}\rightarrow A_{n-1})} からチェイン複体 ( e n : B nB n − 1 ) {\displaystyle (e_{n}\colon B_{n}\rightarrow B_{n-1})} への射を、準同型の列 f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}} であって任意の n に対して f n − 1 ∘ d n = e nf n {\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}} が成立するようなものとして定義するこのようにしてチェイン複体は圏をなす。n 次元ホモロジー群 Hnチェイン複体の圏からアーベル群(あるいは加群)の圏への共変関手であるとみなせる。 チェイン複体対象 X に共変的に依存するものとする(つまり、任意の射 X → Y は X のチェイン複体から Y のチェイン複体への射を誘導するものとする)。このとき、Hn は X が属している圏からアーベル群(あるいは加群)の圏への共変関手である。 ホモロジーコホモロジーとのただひとつの違いは、コホモロジーにおいてはチェイン複体が X に反変的に依存するという点で、したがってホモロジー群(この文脈ではこれをコホモロジー群呼んで Hn と表す)は X の属する圏からアーベル群あるいは加群の圏への反変関手となる。

※この「ホモロジー関手」の解説は、「ホモロジー (数学)」の解説の一部です。
「ホモロジー関手」を含む「ホモロジー (数学)」の記事については、「ホモロジー (数学)」の概要を参照ください。

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