ホモトピー不変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 06:45 UTC 版)
X と Y がホモトピー同値な2つの位相空間であれば、すべての n ≥ 0 に対して、 H n ( X ) = H n ( Y ) {\displaystyle H_{n}(X)=H_{n}(Y)\,} である。これはホモロジー群が位相的不変量であることを意味する。 とくに、X が連結可縮空間であれば、 H 0 ( X ) = Z {\displaystyle H_{0}(X)=\mathbb {Z} } を除いて、すべてのそのホモロジー群は 0 である。 特異ホモロジー群のホモトピー不変性の証明の概略は以下のようである。連続写像 f: X → Y は次の準同型を誘導する。 f ♯ : C n ( X ) → C n ( Y ) . {\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).} 次のことが直ちにわかる。 ∂ f ♯ = f ♯ ∂ , {\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,} すなわち f# はチェイン写像であり、次のホモロジーの準同型を得る。 f ∗ : H n ( X ) → H n ( Y ) . {\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).} f と g がホモトピー同値ならば f* = g* であることを示そう。そうすれば f がホモトピー同値ならば f* は同型であることがわかる。 F : X × [0, 1] → Y を f から g へのホモトピーとする。チェインのレベルで、幾何学的に言えば、基底元 σ: Δn → X of Cn(X) を 「プリズム」 P(σ): Δn × I → Y にうつす準同型 P : C n ( X ) → C n + 1 ( Y ) {\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)} を定義する。P(σ) の境界は次のように表現できる。 ∂ P ( σ ) = f ♯ ( σ ) − g ♯ ( σ ) + P ( ∂ σ ) . {\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )+P(\partial \sigma ).} よって α ∈ Cn(X) が n-サイクルであれば、f#(α ) と g#(α) は境界だけ異なる。 f ♯ ( α ) − g ♯ ( α ) = ∂ P ( α ) , {\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),} すなわちそれらは homologous である。これで主張が証明された。
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