複素係数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
複素ベクトル空間上クリフォード代数を研究することもできる。複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は標準対角形式 Q ( z ) = z 1 2 + z 2 2 + ⋯ + z n 2 {\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}} ただし n = dim V、に同型を除いて同値であり、したがって各次元 n に対してただ1つの非退化クリフォード代数が存在する。標準二次形式を持った Cn 上のクリフォード代数を Cℓn(C) によって表記しよう。 最初のいくつかのケースは計算するのが難しくない。 Cℓ0(C) ≅ C: 複素数体 Cℓ1(C) ≅ C ⊕ C: 双複素数環 Cℓ2(C) ≅ M(2, C): 双四元数（英語版）環 がわかる、ただし M(n, C) は C 上 n×n 行列の代数を表す。
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複素係数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:54 UTC 版)
複素数体上の空間を扱う場合も、同様に詳しくしかもより平易な形に述べることができる。{e1, …, en} を直交基底とする。 新たな基底 {e′1, …, e′n} を e i ′ = { e i if b ( e i , e i ) = 0 e i / b ( e i , e i ) if b ( e i , e i ) ≠ 0 {\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;b(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {b(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;b(e_{i},e_{i})\neq 0\end{cases}}} で定義すると、新たな表現行列 B は対角線上に 0 と 1 のみを成分に持つ対角行列となる。0 が現れるのは根基が非自明なときであり、かつそのときに限る。
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複素係数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 08:03 UTC 版)
多項式 p が自己（共軛）相反的であるとは、p(z) ≡ p†(z) を満たすことを言う。単位円上の適当なスケール因子 ω に対して p(z) ≡ ωp† を満たすならば自己反転的 (self-inversive) という[要ページ番号]。 p(z) が |z0| = 1 かつ z0 ≠ 1 なる複素数 z0 の実係数最小多項式ならば p(z) は自己相反である。実際、 p † ( z 0 ) = z 0 n p ( 1 / z ¯ 0 ) ¯ = z 0 n p ( z 0 ) ¯ = z 0 n 0 ¯ = 0 {\displaystyle p^{\dagger }(z_{0})=z_{0}^{n}\,{\overline {p(1/{\bar {z}}_{0})}}=z_{0}^{n}\,{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}\,{\bar {0}}=0} が成り立つから z0 は p†(z) の根で、これは n-次だから最小多項式の一意性により適当な定数 c を以って c p ( z ) = p † ( z ) ( i.e. c a i = a ¯ n − i = a n − i ) {\displaystyle cp(z)=p^{\dagger }(z)\quad ({\text{i.e. }}ca_{i}={\bar {a}}_{n-i}=a_{n-i})} が成り立つが、ここで i = 0 から n までの和を取れば、1 が p の根でなかったことと合わせて c = 1 を得る。 この帰結として、n > 1 に対する円分多項式 Φn は自己相反であることが分かる。これは x11 ± 1, x13 ± 1, x15 ± 1, x21 ± 1 の形の数に対して、それぞれ次数が 5, 6, 4, 6（x の冪指数のオイラー数 φ がそれぞれ 10, 12, 8, 12 であることに注意）であるような多項式を用いて代数的因数が得られることを用いて因数分解する特殊数体篩法（英語版）に用いられる。
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