複素引数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:02 UTC 版)
偶数引数に対する二重階乗の先述の定義はさておいて、z が正の奇数のときの値が z ! ! = z ( z − 2 ) ⋯ ( 3 ) = 2 z − 1 2 ( z 2 ) ( z − 2 2 ) ⋯ ( 3 2 ) = 2 z − 1 2 Γ ( z 2 + 1 ) Γ ( 1 2 + 1 ) = 2 z + 1 π Γ ( z 2 + 1 ) = ( z 2 ) ! 2 z + 1 π {\displaystyle {\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots (3)=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {3}{2}}\right)\\&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {z}{2}}+1\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)!{\sqrt {\frac {2^{z+1}}{\pi }}}\end{aligned}}} と書けることに着目して、奇階乗の定義域をほとんどの実数または複素数に対して延長することができる:266。 この関係式に従えば、z が非負偶数値をとるときの z!! の値は ( 2 k ) ! ! := 2 π ∏ i = 1 k ( 2 i ) = 2 k k ! 2 π {\displaystyle (2k)!!:={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)=2^{k}k!{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}} と再定義されることになる。この意味での 0!! の値は 0 ! ! = 2 π ≈ 0.797 884 5608 … {\textstyle 0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\ldots } である。 式を見れば z!! が負の偶数を除く任意の複素数に対して定義されることが分かる。またこれを定義として、半径 R の n-次元超球の体積は V n = 2 ( 2 π ) n − 1 2 n ! ! R n {\displaystyle V_{n}={\frac {2(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}} と表せる。
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