複素微分可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/24 15:21 UTC 版)
「コーシー・リーマンの方程式」の記事における「複素微分可能性」の解説
f ( z ) = u ( z ) + i ⋅ v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)} が複素数 z の関数であると仮定する。すると点 z0 での f の複素導関数は（以下のような極限が存在すると仮定すれば）次のように定義される。 lim h → 0 h ∈ C f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h = f ′ ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})} もしこの極限が存在するならば、これは実軸または虚軸に沿って h → 0 という極限を取ることで計算することが可能で、どちらで計算するにしても同じ結果となるはずだということが言える。実軸に沿って近づけることで、以下を得る。 lim h → 0 h ∈ R f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h = ∂ f ∂ x ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})} 一方で、虚軸に沿って近づけることで以下を得る。 lim h → 0 h ∈ R f ( z 0 + i h ) − f ( z 0 ) i h = 1 i ∂ f ∂ y ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})} これら2軸に沿って得た導関数は以下の等式で示されるように互いに等しい。 i ∂ f ∂ x ( z 0 ) = ∂ f ∂ y ( z 0 ) {\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})} これは点 z0 におけるコーシー・リーマン方程式(2)に等しい。 逆に、もし f : ℂ → ℂ を ℝ2 上の関数であるとみなし、これが微分可能な関数であるなら、 f はコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として複素微分可能である。言い換えれば、もし u と v が実微分可能な2つの実数の変数の関数であるなら、 u + iv は明らかに(複素数値の)実微分可能な関数であるが、 u + iv はコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として複素微分可能である。 Rudin (1966)に従い、 f を開集合 Ω ⊂ ℂ に定義された複素関数とする。すると、あらゆる z ∈ Ω に関して z = x + iy を書くことで、 Ω を ℝ2 の開部分集合であると見なすことができ、 f を2実数 x と y の関数であると見なすことできる。これは Ω ⊂ ℝ2 を ℂ に写すものである。ここで、 z = z0 においてコーシー・リーマン方程式を考える。 f がΩからのℂの2実変数の関数であり z0 で微分可能であると仮定する。これは次の線型近似が存在することを仮定することに等しい。 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) = f x Δ x + f y Δ y + η ( Δ z ) Δ z {\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)\,\Delta z\,} ただし、 z = x + iy で、 Δz → 0 なので η(Δz) → 0。 Δ z + Δ z ¯ = 2 Δ x {\displaystyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x} および Δ z − Δ z ¯ = 2 i Δ y {\displaystyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y} であるから、以上の式は以下のように書き直すことができる。 Δ f ( z 0 ) = f x − i f y 2 Δ z + f x + i f y 2 Δ z ¯ + η ( Δ z ) Δ z {\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,\Delta z\,} 2つのウィルティンガーの微分を以下のように定義する。 ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) , ∂ ∂ z ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigr )},\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigr )}} 極限 Δ z → 0 , Δ z ¯ → 0 {\displaystyle \Delta z\rightarrow 0,\Delta {\bar {z}}\rightarrow 0} では上の等式は以下のように書くことができる。 d f d z | z = z 0 = ∂ f ∂ z | z = z 0 + ∂ f ∂ z ¯ | z = z 0 ⋅ d z ¯ d z + η ( Δ z ) , ( Δ z ≠ 0 ) . {\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z=z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|_{z=z_{0}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\right|_{z=z_{0}}\cdot {\frac {d{\bar {z}}}{dz}}+\eta (\Delta z),\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).} ここで極限が原点で取られたときに d z ¯ / d z {\displaystyle d{\bar {z}}/dz} が取りうる値を考える。実直線に沿った z に関して、 z ¯ = z {\displaystyle {\bar {z}}=z} なので、 d z ¯ / d z = 1 {\displaystyle d{\bar {z}}/dz=1} 。同様に、純虚数の z に関して d z ¯ / d z = − 1 {\displaystyle d{\bar {z}}/dz=-1} なので、 d z ¯ / d z {\displaystyle d{\bar {z}}/dz} は原点においてwell-definedではない。 d z ¯ / d z {\displaystyle d{\bar {z}}/dz} がどんな複素数 z に関してもwell-definedでないことは容易に確認できるので、 z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} で ( ∂ f / ∂ z ¯ ) = 0 {\displaystyle (\partial f/\partial {\bar {z}})=0} を必要十分条件として f は z0 で 複素微分可能である。これはまさにコーシー・リーマン方程式であり、 f は z0 で z0 でのコーシー・リーマン方程式を必要十分条件として微分可能である。
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