数理物理学方法序説

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数理物理学方法序説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 10:00 UTC 版)

「保江邦夫」の記事における「数理物理学方法序説」の解説

50歳を目前に「数理物理学方法序説」を記す。対象は高校2年生以上とあるが実際には大学理学部で理解できるような内容である。 (1) 複素関数論 複素平面上にルベーグ測度を簡潔に導入するところから出発し、その上で定義される解析関数の基本的な性質を解説する。実数直線上の関数に比べて圧倒的な美しさを持つ複素関数の世界が広がる。ページ数の制約から等角写像、保型関数、射影変換、超幾何微分方程式やそのモノドロミー表現といった魅力的な話題を割愛してある。最初の3分の1は測度論、2変数ルベーグ積分、超関数の入門書となり後半の3分の2がごく標準的な複素関数論への入門書となっている。一般的には見られないルベーグ積分入門に紙数を割いているのが特徴である。保江らしい記述は最終章の「可換多元体への誘い」にある。天文学の恩師である菊池定衛門先生が書いた「高階複素数論」を紹介している。標準的な複素関数論では見ることができない高度な内容である。 (2) ヒルベルト空間論 東北大学理学部2年次に在学中、数学の講義にて鶴丸孝司からヒルベルト空間上の完全作用素のスペクトル分解の解説を受ける。保江いわく「長引く大学紛争にうつつをぬかす自分たち学生の頭にガツーンと衝撃を与えるような内容だった」、そして学問を通じて学生運動で貴重な時間を浪費すべきでないことを身をもって伝えたという。この気魄に満ちた空間論に多いに感銘を受け、一生ヒルベルト空間に浸っていたいとまで思うようになる。ヒルベルト空間は複素関数を要素とする無限次元のベクトル空間なので実在する空間ではない。ヒルベルト空間のおかげで量子力学は数学的な正当性を与えられる。距離空間、ノルム空間、バナッハ空間そしてヒルベルト空間など関数解析の基礎を最短のルートで学ぶことができる。 2巻ヒルベルト空間論は、実は東北大学在学中に習った鶴丸教授の講義ノートそのものだという。学部に上がり、京大院や名大院に進学してからも、そしてスイスのジュネーブ大に就職してからも、常にこのノートを大事に携帯していたと後日供述している。 (3) 量子力学 量子力学はシュレディンガー流とハイゼンベルク流の定式化がある。1つは超準数学の無限小解析を確率力学および確率過程に組み込む方法、そしてもう1つは確率力学とニュートン力学を組み合わせる方法である。前者は1960年代に、後者は1980年代になって発見された。どちらの方法からでも量子力学の基礎方程式が見事に導かれる。 (4) 確率論 最初の3分の1は確率測度を使った確率論の導出、後半の3分の2は確率過程論である。確率過程というのは時間とともに変化する確率変数のことであり、ブラウン運動などの粒子のランダムな運動を数学的に記述するモデルとして利用されている。 定理や証明の存在はいつもルベーグ測度やヒルベルト空間論によって裏付けられている。確率論にしても同様。確率空間をはじめ確率変数やその期待値、分散、確率分布関数など基本的なことがらの存在が証明されていく。8章でブラウン運動など不確定な物理量で示される現象を時間を変数とする確率微分方程式を使って導く説明があるこの段階での理論は時間パラメーターについて対称的で、分子運動論でいえば粒子と粒子の間の相互作用はないという状況となる。 (5) 変分学 理論物理学の基礎方程式は、メタ理論としての変分学の枠組みに乗せることで数学的に整備され、見通しのよい議論が可能になる。この変分学の基本を、ヒルベルト空間上の解析学として数学的に解説してある。全体的な流れとしては、多変数実関数の微分、バナッハ空間上で定義されるフフレッシェ微分など解析学系の話題からはじまり、微分形式やその微分と積分、ストークスの定理など幾何学的な話、そしてソボレフ空間を定義してからソボレフ空間上の汎関数の変分、フーリエ級数、フーリエ変換などが紹介される。種々雑多な分野の寄せ集めに見えるが、バナッハ空間やヒルベルト空間での微分や汎関数の変分問題として一意解が存在するという主張が全体を貫いている。 (6) 解析力学 通常の解析力学の本では一般化座標の座標変換あたりから始めるが、本書ではいきなり多様体が導入される。一般化座標は多様体上の点の位置で表され一般化運動量はそれを微分した多様体上の接ベクトルに対応する。接ベクトルは接ベクトル空間を張りる。多様体上に定義される接ベクトルバンドル（接ベクトル束）、ベクトル場、ベクトル場のフローなどはそれぞれ解析力学上の概念と対応付けながら説明が進んでいく。 解析力学としての展開はラグランジュ力学系からハミルトン力学系、正準変換と母関数、ポワッソン括弧積という通常の順番で行われる。式展開上の微分は面倒だが丹念に追えば理解できる。本書のユニークさはその応用例にある。著者は学部生のときに天文学を専攻していたことが強く反映されている。制限付き多体問題や多粒子の基準振動、衝突散乱問題、天体力学で行われる摂動法などは入門書では滅多にお目にかかれない例である。 天体力学での摂動法とは、天王星の軌道の乱れから海王星を発見できたという歴史が示すように、理想的な楕円軌道からのずれを近似法で求めることを言う。このような近似計算をハミルトン力学系という理想化された理論でどのように行えばよいかが説明されている。 特筆すべきは第15章「リー環とリー微分」の部分。解析力学の本でリー環やリー微分の記述は少ない。 ハミルトン系力学では正準方程式がポワッソン括弧で表されるというのが解析力学だが、それが多様体上で代数学のリー環の定義を満たし、さらにHフロー（ハミルトニアンのフロー）に沿うリー微分として定義される。多様体上にリー環があれば、それは（リー環の）構造定数によって完全に決定されるし、ハミルトニアンのフローも決定されることになる。ハミルトニアンのフローによって物体の運動が決定される。このように代数学と幾何学と力学が美しく結びついていることがこの章で示されている。本書は解析力学の範疇を超えて現代数学との関係を明確に示すことに成功している。 (7) 連続群論 連続群は別名「リー群」とも呼ばれる。物理学で扱う対象はなんらかの自由度についての連続的な変換からなる連続変換群がほとんどなので、この群が特に重要視される。 最初の6章は群論とは全く関係ないヒルベルト空間の簡潔な復習、有界線形作用素、スペクトル分解、解析ベクトルなど関数解析系の話が続く。7章以降はじまる群論の解説を読み、やっとその理由がわかるような構成である。すべてが関連を持っているためである。ニュートン力学における3次元ユークリッド空間、アインシュタインの4次元時空間、量子場の理論のゲージ場にそれぞれ対応するガリレイ群、ローレンツ群、ゲージ群はそれぞれ対応するリー群（連続群）の構造定数に対応し、リー群はリー環という代数構造に対応し、リー環はヒルベルト空間のユニタリー作用素によって表現される。またリー環に微分可能多様体が付随しているため、多様体上のベクトル、接ベクトル空間、ベクトル場のフローなどが関連している。最初の6章がヒルベルト空間論のユニタリー作用素など関数解析系の説明に割かれていたのはそのような理由による。量子場の理論と作用素環論という代数学の結びつきが順を追ってはっきりと示されている。 (8) 微分幾何学 曲った空間を数学的に取り扱うためのいくつかの概念（測地線、接続、共変微分、曲率など）を導入することから出発し、それをもとにして、一般相対性理論の基礎方程式とその簡単な解まで一気に論ずることを目指している。数式付きで解説される他の中級者向けの一般相対性理論入門とは異なり、多様体についての説明を導入部分に置き、現代微分幾何学との関わりを強く意識している。4次元の擬リーマン時空多様体は一般相対論では「曲がっている」わけだが、一般的なリーマン多様体ではこの「曲率」だけでなく「ねじれ」も定量化されること。そしてこの「ねじれ」が現代において最先端の多次元空間の非可換幾何学に結びついていること。保江は近年提唱されている「コンヌ博士の非可換幾何学」や「超ひも理論」などについて「人為的過ぎる」と懐疑的な考えを持っている。重力場の微分方程式を導くために変分法を使って説明している。ここでは全宇宙のエネルギー積分を表す汎関数に対して最小作用原理を使う。また作用積分に含まれている質点の質量は時空の4次元空間の計量から導かれる無限小の質点測度として与えること、この無限小の量の積分がディラックのデルタ関数として計算されていること、幾何学的な計量が質量という実在的な量に結びついていることも示している。 また、第3章と第18章で大数学者リーマンが1854年にゲッティンゲン大学で行った講演の内容を紹介している。