双線型性と結合性とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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双線型性と結合性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:07 UTC 版)

「クロネッカー積」の記事における「双線型性と結合性」の解説

クロネッカー積はテンソル積の特別な場合であるから、双線型性と結合性を持つ。すなわち、A, B, C を適当なサイズの行列、k をスカラーとして A ⊗ ( B + C ) = A ⊗ B + A ⊗ C , {\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,} ( A + B ) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C , {\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,} ( k A ) ⊗ B = A ⊗ ( k B ) = k ( A ⊗ B ) , {\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),} ( A ⊗ B ) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C ) {\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)} が成り立つ。クロネッカー積は可換でなく、一般には A ⊗ B と B ⊗ A は異なる行列となる。しかし A ⊗ B と B ⊗ A とは置換同値、すなわち置換行列 P, Q で A ⊗ B = P ( B ⊗ A ) Q {\displaystyle A\otimes B=P(B\otimes A)Q} となるものが存在する。さらに A, B が正方行列の場合には、A ⊗ B と B ⊗ A とは置換相似、すなわち置換同値であって P = Q⊤ とすることができる。

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