KdV方程式の初期値問題に現れるリッカチの微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/13 16:00 UTC 版)
「リッカチの微分方程式」の記事における「KdV方程式の初期値問題に現れるリッカチの微分方程式」の解説
変形KdV方程式 v t − 6 v 2 v x + v x x x = 0 , v t := ∂ v ( x , t ) ∂ t , v x := ∂ v ( x , t ) ∂ x , v x x x := ∂ 3 v ( x , t ) ∂ x 3 , {\displaystyle v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0,\quad v_{t}:={\frac {\partial v(x,t)}{\partial t}},\quad v_{x}:={\frac {\partial v(x,t)}{\partial x}},\quad v_{xxx}:={\frac {\partial ^{3}v(x,t)}{\partial x^{3}}},} は、Miura変換 u = v x + v 2 , {\displaystyle u=v_{x}+v^{2},} によって、KdV方程式と u t − 6 u u x + u x x x = ( 2 v + ∂ x ) ( v t − 6 v 2 v x + v x x x ) , {\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=\left(2v+\partial _{x}\right)\left(v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}\right),} の関係で結ばれる。したがって、変形KdV方程式の解はKdV方程式の解である。Miura変換において、 u {\displaystyle u} を既知関数、 v {\displaystyle v} を未知関数と見なせば、これはリッカチの微分方程式である。上述のように、リッカチの微分方程式は v = ψ x / ψ {\displaystyle v=\psi _{x}/\psi } によって2階の線形常微分方程式へ変換でき、 ψ x x − u ψ = 0 , {\displaystyle \psi _{xx}-u\psi =0,} さらに、KdV方程式がガリレイ変換 x ′ = x − 6 λ t , t ′ = t , u ′ ( x ′ , t ′ ) = u ( x , t ) − λ , {\displaystyle x'=x-6\lambda t,\quad t'=t,\quad u'(x',t')=u(x,t)-\lambda ,} の下で不変であることを用いると、定常シュレディンガー方程式 − ψ x x + u ψ = λ u , {\displaystyle -\psi _{xx}+u\psi =\lambda u,} を得る。この式を出発点として、逆散乱法(固有値 λ {\displaystyle \lambda } は時間に依存しないと仮定し、 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} について散乱データ( x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } での入力波と x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } での透過係数、 x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } での反射係数)を与えて、そこからポテンシャル u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} の形を決定する問題を解く。)によってKdV方程式の初期値問題の解を求めることができる。
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