3次元の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/26 17:30 UTC 版)
ここで一辺が長さLである3次元立方体の箱を考える（無限に深い井戸型ポテンシャルを参照）。これは金属中の電子を記述するのに良いモデルとなる。 ここで状態は3つの量子数 nx, ny,nzでラベル付けされている。1粒子エネルギーは、 E n x , n y , n z = E 0 + ℏ 2 π 2 2 m L 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,} nx, ny, nzは正の整数、mはフェルミ粒子（この場合は電子）の質量である。同じエネルギーをもつ複数の状態がある（たとえば E 211 = E 121 = E 112 {\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}} ）。N個の相互作用のないスピン1/2のフェルミ粒子をこの箱に入れる。このフェルミエネルギーを計算するために、Nが大きい場合を見てみる。 ベクトル n → = { n x , n y , n z } {\displaystyle {\vec {n}}=\{n_{x},n_{y},n_{z}\}} を導入すると、それぞれの量子状態はエネルギー E n → = E 0 + ℏ 2 π 2 2 m L 2 | n → | 2 {\displaystyle E_{\vec {n}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|{\vec {n}}|^{2}\,} をもつｎ空間の点に対応する。 | n → | 2 {\displaystyle |{\vec {n}}|^{2}} は通常のユークリッド長さの二乗 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}})^{2}} を表す。エネルギーがEF + E0以下の状態の数は、EF + E0が正であるｎ空間の領域での半径 | n → F | {\displaystyle |{\vec {n}}_{F}|} の球の中にある状態の数に等しい。基底状態におけるこの数は、系のフェルミ粒子の数に等しい。 N = 2 × 1 8 × 4 3 π n F 3 {\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{F}^{3}\,} 2つのスピン状態があるため因子２がつき、全てのnが正である領域には球の1/8だけがあるため、因子1/8がつく。よって n F = ( 3 N π ) 1 / 3 {\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}} よってフェルミエネルギーは次式で与えられる。 E F = ℏ 2 π 2 2 m L 2 n F 2 = ℏ 2 π 2 2 m L 2 ( 3 N π ) 2 / 3 {\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}} これから（L2 をV2/3に置き換えると）フェルミエネルギーは体積あたりの粒子数（個数密度） N / V {\displaystyle N/V} で決まることがわかる。 E F = ℏ 2 2 m ( 3 π 2 N V ) 2 / 3 {\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}} N {\displaystyle N} 個のフェルミ粒子のフェルミ球の全エネルギーは次式で与えられる。 E t = N E 0 + ∫ 0 N E F d N ′ = ( 3 5 E F + E 0 ) N {\displaystyle E_{t}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }\,dN^{\prime }=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N} よって電子の平均エネルギーは次のように与えられる。 E a v = E 0 + 3 5 E F {\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }} 3次元の等方的な場合のフェルミ面は、フェルミ球として知られる。
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3次元の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 01:34 UTC 版)
以下では、地球の公転は無視し、地球は半径 R {\displaystyle R} の球形とする。静止座標系として、地球の中心を原点とし、地軸の北極方向を z {\displaystyle z} 軸、赤道面を x y {\displaystyle xy} 平面とする座標系を考える。 次に、地球表面の点で、地球の自転とともに動くを観測点 P {\displaystyle P} を考える。 P = R [ cos α cos ( ω t + δ ) cos α sin ( ω t + δ ) sin α ] {\displaystyle P=R{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos(\omega t+\delta )\\\cos \alpha \sin(\omega t+\delta )\\\sin \alpha \end{bmatrix}}} ただし、 R {\displaystyle R} は地球の半径、 α {\displaystyle \alpha } は観測点 P {\displaystyle P} の緯度、 ω {\displaystyle \omega } は地球の自転の角速度 ω = 2 π / ( 24 × 60 × 60 s ) {\displaystyle \omega =2\pi /(24\times 60\times 60~\mathrm {s} )} 、 t {\displaystyle t} は時刻、 δ {\displaystyle \delta } は時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} における P {\displaystyle P} の位置を表すパラメータだが、以下コリオリの力に関係ないので δ = 0 {\displaystyle \delta =0} とする。 回転座標系として、 P {\displaystyle P} を原点とし、次の3つの単位ベクトルで張られる座標系を考える。 単位ベクトルベクトルの方向 f 1 = [ 0 0 1 ] {\displaystyle f_{1}={\begin{bmatrix}\ 0\\0\\1\end{bmatrix}}} 地軸方向。北極星の方向。 f 2 = [ − sin ω t cos ω t 0 ] {\displaystyle f_{2}={\begin{bmatrix}\ -\sin \omega t\\\cos \omega t\\0\end{bmatrix}}} 自転方向。東の方向。 f 3 = [ cos ω t sin ω t 0 ] {\displaystyle f_{3}={\begin{bmatrix}\ \cos \omega t\\\sin \omega t\\0\end{bmatrix}}} P {\displaystyle P} 点から地軸に下ろした垂線の足と、 P {\displaystyle P} を結ぶ直線上の方向で、地軸から離れる方向。天頂から真南へ角度 α {\displaystyle \alpha } だけ傾けた方向。 この座標系で、時刻 t {\displaystyle t} における質点 X {\displaystyle X} の位置が、 f 1 {\displaystyle f_{1}} 成分 a 1 ( t ) {\displaystyle a_{1}(t)} 、 f 2 {\displaystyle f_{2}} 成分 a 2 ( t ) {\displaystyle a_{2}(t)} 、 f 3 {\displaystyle f_{3}} 成分 a 3 ( t ) {\displaystyle a_{3}(t)} で表記されたとする。（以下 t {\displaystyle t} は省略する。） 静止系で表すと X = a 1 f 1 + a 2 f 2 + a 3 f 3 + P = a 1 f 1 + a 2 f 2 + a 3 f 3 + R sin α f 1 + R cos α f 3 {\displaystyle {\begin{aligned}X&=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+P\\&=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\sin \alpha f_{1}+R\cos \alpha f_{3}\end{aligned}}} である。 以下時間での微分を ′ {\displaystyle '} で表す。 f 1 ′ = [ 0 0 0 ] = 0 {\displaystyle f_{1}'={\begin{bmatrix}\ 0\\0\\0\end{bmatrix}}=0} f 2 ′ = [ − ω cos ω t − ω sin ω t 0 ] = − ω f 3 {\displaystyle f_{2}'={\begin{bmatrix}\ -\omega \cos \omega t\\-\omega \sin \omega t\\0\end{bmatrix}}=-\omega f_{3}} f 3 ′ = [ − ω sin ω t ω cos ω t 0 ] = ω f 2 {\displaystyle f_{3}'={\begin{bmatrix}\ -\omega \sin \omega t\\\omega \cos \omega t\\0\end{bmatrix}}=\omega f_{2}} X ′ = a 1 ′ f 1 + a 2 ′ f 2 + a 3 ′ f 3 + a 1 f 1 ′ + a 2 f 2 ′ + a 3 f 3 ′ + P ′ X ″ = a 1 ″ f 1 + a 2 ″ f 2 + a 3 ″ f 3 + 2 a 1 ′ f 1 ′ + 2 a 2 ′ f 2 ′ + 2 a 3 ′ f 3 ′ + a 1 f 1 ″ + a 2 f 2 ″ + a 3 f 3 ″ + P ″ {\displaystyle {\begin{aligned}X'&=a_{1}'f_{1}+a_{2}'f_{2}+a_{3}'f_{3}+a_{1}f_{1}'+a_{2}f_{2}'+a_{3}f_{3}'+P'\\X''&=a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3}+2a_{1}'f_{1}'+2a_{2}'f_{2}'+2a_{3}'f_{3}'+a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P''\end{aligned}}} 静止系では運動方程式が成り立つため、質点 X {\displaystyle X} の質量を m {\displaystyle m} 、掛かる力を F {\displaystyle F} とすると、 F = m X ″ = m a 1 ″ f 1 + m a 2 ″ f 2 + m a 3 ″ f 3 + 2 m a 1 ′ f 1 ′ + 2 m a 2 ′ f 2 ′ + 2 m a 3 ′ f 3 ′ + m a 1 f 1 ″ + m a 2 f 2 ″ + m a 3 f 3 ″ + m P ″ {\displaystyle F=mX''=ma_{1}''f_{1}+ma_{2}''f_{2}+ma_{3}''f_{3}+2ma_{1}'f_{1}'+2ma_{2}'f_{2}'+2ma_{3}'f_{3}'+ma_{1}f_{1}''+ma_{2}f_{2}''+ma_{3}f_{3}''+mP''} m ( a 1 ″ f 1 + a 2 ″ f 2 + a 3 ″ f 3 ) = F − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) − m ( a 1 f 1 ″ + a 2 f 2 ″ + a 3 f 3 ″ + P ″ ) {\displaystyle m(a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3})=F-2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')} ここで、 a 1 ″ f 1 + a 2 ″ f 2 + a 3 ″ f 3 {\displaystyle a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3}} は、この回転座標系での加速度であり、 − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) − m ( a 1 f 1 ″ + a 2 f 2 ″ + a 3 f 3 ″ + P ″ ) {\displaystyle -2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')} が、この座標系での「みかけの力」即ち慣性力になる。 上で示した f 1 ′ = 0 {\displaystyle f_{1}'=0} f 2 ′ = − ω f 3 {\displaystyle f_{2}'=-\omega f_{3}} f 3 ′ = ω f 2 {\displaystyle f_{3}'=\omega f_{2}} を使えば、 − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) = 2 m ω ( a 2 ′ f 3 − a 3 ′ f 2 ) {\displaystyle -2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')=2m\omega (a_{2}'f_{3}-a_{3}'f_{2})} この部分は、広義のコリオリの力に対応する部分であり、 f 2 {\displaystyle f_{2}} 方向の速度 a 2 ′ {\displaystyle a_{2}'} に対し f 3 {\displaystyle f_{3}} 方向に「みかけの力」 2 m ω a 2 ′ {\displaystyle 2m\omega a_{2}'} が働き、 f 3 {\displaystyle f_{3}} 方向の速度 a 3 ′ {\displaystyle a_{3}'} に対し − f 2 {\displaystyle -f_{2}} 方向に「みかけの力」 2 m ω a 3 ′ {\displaystyle 2m\omega a_{3}'} が働く ことを示している。 これは、 f 2 {\displaystyle f_{2}} と f 3 {\displaystyle f_{3}} で張られた平面（観測点 P {\displaystyle P} を通り地軸に直交する平面）での2次元のコリオリの力に一致する。 なお、 − m ( a 1 f 1 ″ + a 2 f 2 ″ + a 3 f 3 ″ + P ″ ) = m ( − a 1 f 1 ″ − a 2 f 2 ″ − a 3 f 3 ″ − R sin α f 1 ″ − R cos α f 3 ″ ) = m ω ( + a 2 f 3 ′ − a 3 f 2 ′ − R cos α f 2 ′ ) = m ω 2 ( a 2 f 2 + a 3 f 3 + R cos α f 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')&=m(-a_{1}f_{1}''-a_{2}f_{2}''-a_{3}f_{3}''-R\sin \alpha f_{1}''-R\cos \alpha f_{3}'')\\&=m\omega (+a_{2}f_{3}'-a_{3}f_{2}'-R\cos \alpha f_{2}')\\&=m\omega ^{2}(a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\cos \alpha f_{3})\\\end{aligned}}} は、質点 X {\displaystyle X} から地軸に下ろした垂線の足から、質点 X {\displaystyle X} までの方向ベクトルが a 2 f 2 + a 3 f 3 + R cos α f 3 {\displaystyle a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\cos \alpha f_{3}} であることを考えれば、質点 X {\displaystyle X} にかかる「みかけの力」遠心力である。 次に、上記の回転座標系では、北極星の方向、天頂から真南へ角度 α {\displaystyle \alpha } だけ傾けた方向を座標軸とするので不便だから、別の座標系を考える。 P {\displaystyle P} を原点とし、次の3つの単位ベクトル e 1 {\displaystyle e_{1}} 、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 、 e 3 {\displaystyle e_{3}} で張られる座標系とする。 単位ベクトルベクトルの向き e 1 = cos α f 1 − sin α f 3 {\displaystyle e_{1}=\cos \alpha f_{1}-\sin \alpha f_{3}} 観測点 P {\displaystyle P} で地球に接する平面上の真北の方角 e 2 = f 2 {\displaystyle e_{2}=f_{2}} 観測点 P {\displaystyle P} で地球に接する平面上の真東の方角 e 3 = sin α f 1 + cos α f 3 {\displaystyle e_{3}=\sin \alpha f_{1}+\cos \alpha f_{3}} 観測点 P {\displaystyle P} での天頂方向 基底変換は行列で表すと、 [ e 1 e 2 e 3 ] = [ f 1 f 2 f 3 ] [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}} [ f 1 f 2 f 3 ] = [ e 1 e 2 e 3 ] [ cos α 0 − sin α 0 1 0 sin α 0 cos α ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}} [ f 1 f 2 f 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}} 座標系の座標 [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}} が、 [ e 1 e 2 e 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}} 座標系の座標 [ b 1 b 2 b 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}} と同じ点を表すには、 [ e 1 e 2 e 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ f 1 f 2 f 3 ] [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ f 1 f 2 f 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}} のため [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}} でなければならない。 α {\displaystyle \alpha } は時間には依存しないため、 [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] [ b 1 ′ b 2 ′ b 3 ′ ] = [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}'\\b_{2}'\\b_{3}'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ a_{1}'\\a_{2}'\\a_{3}'\end{bmatrix}}} [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] [ b 1 ″ b 2 ″ b 3 ″ ] = [ a 1 ″ a 2 ″ a 3 ″ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}''\\b_{2}''\\b_{3}''\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ a_{1}''\\a_{2}''\\a_{3}''\end{bmatrix}}} 運動方程式を書き換えれば、 m ( a 1 ″ f 1 + a 2 ″ f 2 + a 3 ″ f 3 ) = F − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) − m ( a 1 f 1 ″ + a 2 f 2 ″ + a 3 f 3 ″ + P ″ ) {\displaystyle m(a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3})=F-2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')} について、 m ( a 1 ″ f 1 + a 2 ″ f 2 + a 3 ″ f 3 ) = m [ f 1 f 2 f 3 ] [ a 1 ″ a 2 ″ a 3 ″ ] = m [ f 1 f 2 f 3 ] [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] [ b 1 ″ b 2 ″ b 3 ″ ] = m [ e 1 e 2 e 3 ] [ b 1 ″ b 2 ″ b 3 ″ ] = m ( b 1 ″ e 1 + b 2 ″ e 2 + b 3 ″ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}m(a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3})&=m{\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ a_{1}''\\a_{2}''\\a_{3}''\end{bmatrix}}\\&=m{\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}''\\b_{2}''\\b_{3}''\end{bmatrix}}\\&=m{\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}''\\b_{2}''\\b_{3}''\end{bmatrix}}\\&=m(b_{1}''e_{1}+b_{2}''e_{2}+b_{3}''e_{3})\end{aligned}}} 上記は加速度の項である。 − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) = 2 m ω ( a 2 ′ f 3 − a 3 ′ f 2 ) = 2 m ω [ f 1 f 2 f 3 ] [ 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] = 2 m ω [ e 1 e 2 e 3 ] [ cos α 0 − sin α 0 1 0 sin α 0 cos α ] [ 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ] [ cos α 0 sin α 0 1 0 − sin α 0 cos α ] [ b 1 ′ b 2 ′ b 3 ′ ] = 2 m ω [ e 1 e 2 e 3 ] [ 0 − sin α 0 sin α 0 − cos α 0 cos α 0 ] [ b 1 ′ b 2 ′ b 3 ′ ] = 2 m ω ( b 1 ′ sin α e 2 − b 2 ′ sin α e 1 + b 2 ′ cos α e 3 − b 3 ′ cos α e 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}-2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')&=2m\omega (a_{2}'f_{3}-a_{3}'f_{2})\\&=2m\omega {\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ a_{1}'\\a_{2}'\\a_{3}'\end{bmatrix}}\\&=2m\omega {\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}'\\b_{2}'\\b_{3}'\end{bmatrix}}\\&=2m\omega {\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ 0&-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &0&-\cos \alpha \\0&\cos \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}'\\b_{2}'\\b_{3}'\end{bmatrix}}\\&=2m\omega (b_{1}'\sin \alpha e_{2}-b_{2}'\sin \alpha e_{1}+b_{2}'\cos \alpha e_{3}-b_{3}'\cos \alpha e_{2})\end{aligned}}} 上記は広義のコリオリの力の項である。 − m ( a 1 f 1 ″ + a 2 f 2 ″ + a 3 f 3 ″ + P ″ ) = m ω 2 ( a 2 f 2 + a 3 f 3 + R cos α f 3 ) = m ω 2 { b 2 e 2 + ( b 1 sin α + b 3 cos α + R cos α ) ( sin α e 1 + cos α e 3 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')&=m\omega ^{2}(a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\cos \alpha f_{3})\\&=m\omega ^{2}\left\{b_{2}e_{2}+(b_{1}\sin \alpha +b_{3}\cos \alpha +R\cos \alpha )(\sin \alpha e_{1}+\cos \alpha e_{3})\right\}\end{aligned}}} 上記は遠心力の項である。 ここで、広義のコリオリの力の項を見ると、 e 1 {\displaystyle e_{1}} 方向(北方向)の速度 b 1 ′ {\displaystyle b_{1}'} に対し、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向（東方向）に「みかけの力」 2 m ω b 1 ′ sin α {\displaystyle 2m\omega b_{1}'\sin \alpha } が働く e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向(東方向)の速度 b 2 ′ {\displaystyle b_{2}'} に対し、 − e 1 {\displaystyle -e_{1}} 方向（南方向）に「みかけの力」 2 m ω b 2 ′ sin α {\displaystyle 2m\omega b_{2}'\sin \alpha } が働き、 e 3 {\displaystyle e_{3}} 方向（天頂方向）に「みかけの力」 2 m ω b 2 ′ cos α {\displaystyle 2m\omega b_{2}'\cos \alpha } が働く e 3 {\displaystyle e_{3}} 方向(天頂方向)の速度 b 3 ′ {\displaystyle b_{3}'} に対し、 − e 2 {\displaystyle -e_{2}} 方向(西方向)に「みかけの力」 2 m ω b 3 ′ cos α {\displaystyle 2m\omega b_{3}'\cos \alpha } が働く ことが分かる。 このうち、天頂方向の速度と力を捨象した、 e 1 {\displaystyle e_{1}} 方向(北方向)の速度 b 1 ′ {\displaystyle b_{1}'} に対し、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向（東方向）に「みかけの力」 2 m ω b 1 ′ sin α {\displaystyle 2m\omega b_{1}'\sin \alpha } が働く e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向(東方向)の速度 b 2 ′ {\displaystyle b_{2}'} に対し、 − e 1 {\displaystyle -e_{1}} 方向（南方向）に「みかけの力」 2 m ω b 2 ′ sin α {\displaystyle 2m\omega b_{2}'\sin \alpha } が働く と言える。これがコリオリの力である。接平面内であれば、どの方向の速度ベクトルでも北方向と東方向の速度ベクトルの合成で作れるため、「 2 m ω sin α {\displaystyle 2m\omega \sin \alpha } ×速度」だけの接平面内の「みかけの力」がかかることが分かる。
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