3次元の例とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

索引トップ用語の索引ランキング

3次元の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/28 18:25 UTC 版)

次の問題の例として、以下の制約条件群があり、 x12 − x22 + x32 ≤ 2 x12 + x22 + x32 ≤ 10 次の目的関数を最大化する問題を示す。 f(x) = x1x2 + x2x3 ここで x = (x1, x2, x3) である。

※この「3次元の例」の解説は、「非線形計画法」の解説の一部です。
「3次元の例」を含む「非線形計画法」の記事については、「非線形計画法」の概要を参照ください。

3次元の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)

「ホッジ双対」の記事における「3次元の例」の解説

ホッジ双対を3次元へ適用すると、軸性ベクトルと 2-ベクトル（英語版）(bivector)の間の同型の間の同型、つまり軸性ベクトル a と 2-ベクトル A を対応させることができる。すなわち、 A = ⋆ a a = ⋆ A {\displaystyle \mathbf {A} =\star \mathbf {a} \qquad \mathbf {a} =\star \mathbf {A} } が成り立つ。ここに、★ は双対作用素を表す。これらの双対関係は、実、および複素クリフォード代数 Cℓ3(R) の単位擬スカラー（英語版）(Unit pseudoscalar)の作用により以下のように記述できる。i = e1e2e3 (ベクトル {eℓ} は 3次元ユークリッド空間の中での直交基底である）は、次の関係式に従う。 A = a i , a = − A i . {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} i\,,\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.} ベクトルの双対は i をかけることにより得ることができる。これは次のように代数の幾何学的な積（英語版）(geometric product)の性質を使って説明できる。 a i = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) e 1 e 2 e 3 = a 1 e 2 e 3 ( e 1 ) 2 + a 2 e 3 e 1 ( e 2 ) 2 + a 3 e 1 e 2 ( e 3 ) 2 = a 1 e 2 e 3 + a 2 e 3 e 1 + a 3 e 1 e 2 = ( ⋆ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} i&=\left(a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +a_{3}\mathbf {e_{3}} \right)\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} \\&=a_{1}\mathbf {e_{2}e_{3}} (\mathbf {e_{1}} )^{2}+a_{2}\mathbf {e_{3}e_{1}} (\mathbf {e_{2}} )^{2}+a_{3}\mathbf {e_{1}e_{2}} (\mathbf {e_{3}} )^{2}\\&=a_{1}\mathbf {e_{2}e_{3}} +a_{2}\mathbf {e_{3}e_{1}} +a_{3}\mathbf {e_{1}e_{2}} \\&=(\star \mathbf {a} )\end{aligned}}} また、{eℓ em} により張られる双対空間においても、 A i = ( A 1 e 2 e 3 + A 2 e 3 e 1 + A 3 e 1 e 2 ) e 1 e 2 e 3 = A 1 e 1 ( e 2 e 3 ) 2 + A 2 e 2 ( e 3 e 1 ) 2 + A 3 e 3 ( e 1 e 2 ) 2 = − ( A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 ) = − ( ⋆ A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} i&=\left(A_{1}\mathbf {e_{2}e_{3}} +A_{2}\mathbf {e_{3}e_{1}} +A_{3}\mathbf {e_{1}e_{2}} \right)\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} \\&=A_{1}\mathbf {e_{1}} (\mathbf {e_{2}e_{3}} )^{2}+A_{2}\mathbf {e_{2}} (\mathbf {e_{3}e_{1}} )^{2}+A_{3}\mathbf {e_{3}} (\mathbf {e_{1}e_{2}} )^{2}\\&=-\left(A_{1}\mathbf {e_{1}} +A_{2}\mathbf {e_{2}} +A_{3}\mathbf {e_{3}} \right)\\&=-(\star \mathbf {A} )\end{aligned}}} である。ここでは次の関係式 ( e 1 e 2 ) 2 = e 1 e 2 e 1 e 2 = − e 1 e 2 e 2 e 1 = − 1 {\displaystyle (\mathbf {e_{1}e_{2}} )^{2}=\mathbf {e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}} =-\mathbf {e_{1}e_{2}e_{2}e_{1}} =-1} および、 i 2 = ( e 1 e 2 e 3 ) 2 = e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3 e 3 e 1 e 2 = e 1 e 2 e 1 e 2 = − 1 {\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=(\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} )^{2}=\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}e_{1}e_{2}e_{3}} =\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{2}} =\mathbf {e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}} =-1} を用いた。これらの双対 ★ と i 関係式は、任意のベクトルに対して適用できる。ここで双対は、クロス積 a = u × v として生成された軸性ベクトルを、2-ベクトルに値を持ち 2つの極（英語版）(polar)（つまり、軸性ではない）ベクトル u と v の外積 A = u ∧ v へと関係付けることに適用される。2つの積は、行列式を使う同じ方法で、記法 eℓm = eℓ em を使い、次のように書き表すことができる。 a = u × v = | e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | , A = u ∧ v = | e 23 e 31 e 12 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | . {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad \mathbf {A} =\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{23}&\mathbf {e} _{31}&\mathbf {e} _{12}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}.} これらの表現は、2つのタイプのベクトルは、ℓ, m, n が巡回的(cyclic)な関係式 ⋆ e ℓ = e ℓ i = e ℓ e 1 e 2 e 3 = e m e n , {\displaystyle \star \mathbf {e} _{\ell }=\mathbf {e} _{\ell }{\mathit {i}}=\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} =\mathbf {e} _{m}\mathbf {e} _{n}\,,} と、再び ℓ, m, n が巡回的な関係式 ⋆ ( e ℓ e m ) = − ( e ℓ e m ) i = − ( e ℓ e m ) e 1 e 2 e 3 = e n {\displaystyle \star (\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e} _{m})=-(\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e} _{m}){\mathit {i}}=-\left(\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e} _{m}\right)\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} =\mathbf {e} _{n}} の 2つの結果として、ホッジ双対であることを示される。 ⋆ ( u ∧ v ) = u × v , ⋆ ( u × v ) = u ∧ v . {\displaystyle \star (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u\times v} \,,\quad \star (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .} i を用いた ★ の、よく使われている関係式は、 u × v = − ( u ∧ v ) i , u ∧ v = ( u × v ) i {\displaystyle \mathbf {u\times v} =-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )i\,,\quad \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(\mathbf {u\times v} )i\ } である。