3次元での微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)
3次元では、★ 作用素と外微分 d の組み合わせは、古典的作用素 grad、curl、div を生成する。このことは次のようにして分かる。d は、0-形式（函数）から 1-形式へ、1-形式から 2-形式へ、2-形式から 3-形式へ（3-形式へ作用させると 0 となる）作用素である。0-形式 ω = f ( x , y , z ) {\displaystyle \omega =f(x,y,z)} に対し、成分表示された第一の場合は、grad 作用素と同一視される。 d ω = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y + ∂ f ∂ z d z . {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z.} 第二の場合は、★ 作用素により、1-形式上の作用素（ η = A d x + B d y + C d z {\displaystyle \eta =A\,\mathrm {d} x+B\,\mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} z} ）を成分で示すと、curl 作用素である。 d η = ( ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ C ∂ x − ∂ A ∂ z ) d x ∧ d z + ( ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ) d x ∧ d y . {\displaystyle \mathrm {d} \eta =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.} ホッジスター作用素を適用することは、次を意味する。 ⋆ d η = ( ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z ) d x − ( ∂ C ∂ x − ∂ A ∂ z ) d y + ( ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ) d z . {\displaystyle \star \mathrm {d} \eta =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\mathrm {d} x-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\mathrm {d} y+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\mathrm {d} z.} 最後の場合は、★ を作用させると、1-形式 ( η = A d x + B d y + C d z {\displaystyle \eta =A\,\mathrm {d} x+B\,\mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} z} ) から 0-形式（函数）を得て、成分で示すと div 作用素である。 ⋆ η = A d y ∧ d z − B d x ∧ d z + C d x ∧ d y d ⋆ η = ( ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z ⋆ d ⋆ η = ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z . {\displaystyle {\begin{aligned}\star \eta &=A\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+C\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\\mathrm {d} {\star \eta }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} {\star \eta }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}.\end{aligned}}} この表現の有利な点のひとつは、どの場合でも成り立つ恒等式 d2 = 0 が、残る 2つをまとめ、curl(grad( f )) = 0 と div(curl(F)) = 0 と得る。特に、マクスウェルの方程式は、外微分とホッジスター作用素で表すと、特別に単純でエレガントな形となる。 ラプラシアンも得ることができる。上の情報と Δ f = div grad f という事実を使うと、0-形式 ω = f ( x , y , z ) {\displaystyle \omega =f(x,y,z)} に対し、 Δ ω = ⋆ d ⋆ d ω = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \Delta \omega =\star \mathrm {d} {\star \mathrm {d} \omega }={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}} となる。
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